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时间:2018-05-03
《高考数学二轮复习提前练:31数列的概念与递推公式》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第3章第1节[基础强化]考点一:由数列的前几项写出数列的通项公式1.根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1),,,,,…(2)5,55,555,5555,55555,…(3)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…解:(1)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积,经过组合,则所求数列的通项公式an=.(2)联想=10n-1,则an===(10n-1),即an=(10n-1).(3)数列的各项都具有周期性,联想基本数列1,0,-1,0,…,则an=5sin.考点二:利
2、用Sn与an的关系求通项公式2.已知数列{an}的前n项和Sn=n(n-40),则下列判断正确的是( )A.a19>0,a21<0 B.a,a21<0C.a,a21>0D.a19<0,a解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-40n-(n-1)2+40(n-1)=2n-41,所以当2n-41≥0时,n≥,当2n-41≤0时n≤,又因为2n-41随n的增大而增大,所以a1<a2<…<a,且0<a21<a22<….故选C.答案:C3.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解:Sn满足log2(1+Sn)=n+
3、1,∴1+Sn=2n+1,∴Sn=2n+1-1.∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n(n≥2),∴{an}的通项公式为an=4.已知数列{an}的各项均为正数,且Sn=(an+),求an.解:由n=1时,a1=S1=(a1+),∴a=1.∵a1>0,∴a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,∴Sn=(Sn-Sn-1+),整理得,S-S=1.∴{S}是以S=1为首项,公差为1的等差数列.∴S=1+(n-1)·1=n.∵an>0,Sn=,又S1=1,∴当n∈N*时,Sn=;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-.∵-=1,∴n∈N*时
4、,an=-.考点三:由数列的递推关系式求数列的项或通项公式5.在数列{an}中,a1=1,对任意n∈N*,有an+1=,则a10等于( )A.10B.C.5D.解析:由an+1=,得=1+.即-=1.∴{}是公差为1的等差数列,且首项为=1,∴=1+(n-1)×1=n.∴an=,∴a10=.答案:B6.(·银川调研)已知数列{an}中,a1=,an+1=an+,则an=________.解析:an+1-an===(-),由叠加法an-a1=(1-)⇒an=.答案:7.(·沈阳质检)数列{an}满足an+1=a1=,则数列的第项为________.解析:∵a1=,∴
5、a2=2a1-1=.∴a3=2a2=.∴a4=2a3=.a5=2a4-1=,a6=2a5-1=…,∴该数列周期为T=4.∴a=a4=.答案:8.分别求满足下列条件的通项公式.(1)设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a-na+an+1an=0(n=1,2,3,…);(2)已知数列{an}满足an+1=,a1=2.分析:依据已知数列的递推关系适当地进行变形,可寻找数列的通项差an-an-1或通项的商的规律.解:(1)∵数列{an}是首项为1的正项数列,∴an·an+1≠0,∴-+1=0,令=t,∴(n+1)t2+t-n=0,分解因式得[(n+1)t-n](t+
6、1)=0,∴t=,t=-1(舍去),即=,到此可采用:解法一:累乘法.····…·=····…·,∴an=.解法二:特殊数列法.∵=,∴=1,∴数列{(n+1)an+1}是一个以a1为首项,1为公比的等比数列,∴nan=a1·qn-1=1×1=1,∴an=.(2)已知递推式化为-=,∴-=,-=,-=,…-=,将以上(n-1)个式子相加得-=+++…+,∴==1-,∴an=.[感悟高考]1.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=( )A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn解析:解法一:由已知,an+1-an=l
7、n,a1=2,∴an-an-1=ln,an-1-an-2=ln,……a2-a1=ln,将以上n-1个式子累加得:an-a1=ln+ln+…+ln=ln=lnn.∴an=2+lnn.故选A.解法二:由a2=a1+ln2=2+ln2,排除C、D;由a3=a2+ln=2+ln3,排除B.故选A.答案:A2.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2009=________;a2014=________.解析:∵a2009=a503×4-3=1,a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0.答案:1;03.设a1
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