高考数学二轮复习提前练：31数列的概念与递推公式

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1、第3章第1节[基础强化]考点一：由数列的前几项写出数列的通项公式1．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，，，，，…(2)5,55,555,5555,55555，…(3)5,0，－5,0,5,0，－5,0，…解：(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an＝.(2)联想＝10n－1，则an＝＝＝(10n－1)，即an＝(10n－1)．(3)数列的各项都具有周期性，联想基本数列1,0，－1,0，…，则an＝5sin.考点二：利

2、用Sn与an的关系求通项公式2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n(n－40)，则下列判断正确的是(　　)A．a19＞0，a21＜0　　　　B．a，a21＜0C．a，a21＞0D．a19＜0，a解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－40n－(n－1)2＋40(n－1)＝2n－41，所以当2n－41≥0时，n≥，当2n－41≤0时n≤，又因为2n－41随n的增大而增大，所以a1＜a2＜…＜a，且0＜a21＜a22＜….故选C.答案：C3．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，求数列的通项公式．解：Sn满足log2(1＋Sn)＝n＋

3、1，∴1＋Sn＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1.∴a1＝3，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n(n≥2)，∴{an}的通项公式为an＝4．已知数列{an}的各项均为正数，且Sn＝(an＋)，求an.解：由n＝1时，a1＝S1＝(a1＋)，∴a＝1.∵a1＞0，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn＝(Sn－Sn－1＋)，整理得，S－S＝1.∴{S}是以S＝1为首项，公差为1的等差数列．∴S＝1＋(n－1)·1＝n.∵an＞0，Sn＝，又S1＝1，∴当n∈N*时，Sn＝；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－.∵－＝1，∴n∈N*时

4、，an＝－.考点三：由数列的递推关系式求数列的项或通项公式5．在数列{an}中，a1＝1，对任意n∈N*，有an＋1＝，则a10等于(　　)A．10B.C．5D.解析：由an＋1＝，得＝1＋.即－＝1.∴{}是公差为1的等差数列，且首项为＝1，∴＝1＋(n－1)×1＝n.∴an＝，∴a10＝.答案：B6．(·银川调研)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，则an＝________.解析：an＋1－an＝＝＝(－)，由叠加法an－a1＝(1－)⇒an＝.答案：7．(·沈阳质检)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第项为________．解析：∵a1＝，∴

5、a2＝2a1－1＝.∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝.a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝…，∴该数列周期为T＝4.∴a＝a4＝.答案：8．分别求满足下列条件的通项公式．(1)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)；(2)已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝2.分析：依据已知数列的递推关系适当地进行变形，可寻找数列的通项差an－an－1或通项的商的规律．解：(1)∵数列{an}是首项为1的正项数列，∴an·an＋1≠0，∴－＋1＝0，令＝t，∴(n＋1)t2＋t－n＝0，分解因式得[(n＋1)t－n](t＋

6、1)＝0，∴t＝，t＝－1(舍去)，即＝，到此可采用：解法一：累乘法．····…·＝····…·，∴an＝.解法二：特殊数列法．∵＝，∴＝1，∴数列{(n＋1)an＋1}是一个以a1为首项，1为公比的等比数列，∴nan＝a1·qn－1＝1×1＝1，∴an＝.(2)已知递推式化为－＝，∴－＝，－＝，－＝，…－＝，将以上(n－1)个式子相加得－＝＋＋＋…＋，∴＝＝1－，∴an＝.[感悟高考]1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：解法一：由已知，an＋1－an＝l

7、n，a1＝2，∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，……a2－a1＝ln，将以上n－1个式子累加得：an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln＝lnn.∴an＝2＋lnn．故选A.解法二：由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln＝2＋ln3，排除B.故选A.答案：A2．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝________；a2014＝________.解析：∵a2009＝a503×4－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.答案：1；03．设a1