高考数学二轮复习：特征方程法求递推数列的通项公式

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1、二轮复习之特征方程法求递推数列的通项公式（基础篇）适用学科高中数学适用年级高三适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点常见数列通项公式的求法（构造法、特征法等）教学目标1、让学生数列的掌握各种不同数列的通项的求法2、特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。教学重点构造法、特征法等教学难点构造法、特征法等教学过程一、高考解读各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家

2、有帮助。二、复习预习一、等差数列的通项公式：an=或an=；；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中，，成等差数列。等差数列的前和的求和公式；二、等比数列通项公式：an=或an=；3、前n项和公式：Sn=（q=1）=，（q≠1）三、知识讲解考点1（一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的

3、递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.考点2设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）四、例题精析例题1已知数列中，，，求.【规范解答】设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.【总结与思考】递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例题2设数

4、列：，求.【规范解答】设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得【总结与思考】（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.例题3已知数列中，,，求。【规范解答】在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以【总结与思考】引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例题4已知数列中，,,，求。【规范解答】由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。【总结与思考】递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先

5、把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例题5已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。,。又由，于是故【总结与思考】对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。课程小结设已知数列的项满足,其

6、中求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故