高考数学 基本不等式复习好题精选

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1、基本不等式：≤题组一利用基本不等式求最值1.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为(　　)A．4B．4C．9D．16解析：由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案：D2．(·天津高考)设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8B．4C．1D.解析：∵是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2

2、＝4(当且仅当a＝b＝取等号)．答案：B3．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)A．8B．6C．4D．2解析：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，当且仅当a·＝等号成立，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.答案：C4．(·太原模拟)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．

3、解析：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋.当且仅当b＝a时取等号，将b＝a代入a＋b＝1得a＝2－2，故f(x)＝(2－2)x＋1＋1.答案：f(x)＝(2－2)x＋1＋1题组二利用基本不等式证明不等式5.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：法一：由≥得ab≤()2＝1，又a2＋b2≥2ab⇒2(a2＋b2)≥(a＋b)2⇒a2＋b2≥2.法二：(特值法)取a＝0，b＝2满足a＋b＝2，代入选项可排

4、除B、D.又取a＝b＝1满足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.答案：C6．设a、b是正实数，以下不等式①>；②a>

5、a－b

6、－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为(　　)A．①③B．①④C．②③D．②④解析：∵a、b是正实数，∴①a＋b≥2⇒1≥⇒≥.当且仅当a＝b时取等号，∴①不恒成立；②a＋b>

7、a－b

8、⇒a>

9、a－b

10、－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋≥2＝2>2恒成立．答案：D7．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1

11、，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.证明：∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，∴(－1)(－1)(－1)＝＝≥＝8.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．题组三基本不等式的实际应用8.(·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0

12、库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库建在离车站d千米处，由已知y1＝2＝，得k1＝y1＝，y2＝8＝k2·10，得k2＝，∴y2＝d，∴y1＋y2＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小．答案：510．(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162x平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)

13、，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12960＝1296(x＋)＋12960≥1296×2＋12960＝38880(元)，当且仅当x＝(x>0)

14、，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16.设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296