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时间:2018-05-03
《高考数学复习好题精选 基本不等式》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、基本不等式:≤题组一利用基本不等式求最值1.设x、y均为正实数,且+=1,则xy的最小值为( )A.4B.4C.9D.16解析:由+=1可得xy=8+x+y.∵x,y均为正实数,∴xy=8+x+y≥8+2(当且仅当x=y时等号成立),即xy-2-8≥0,可解得≥4,即xy≥16,故xy的最小值为16.答案:D2.(·天津高考)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( )A.8B.4C.1D.解析:∵是3a与3b的等比中项,∴()2=3a·3b.即3=3a+b,∴a+b=1.此时+=+=2+(+)≥2+2=4(当且仅当a=b=取等号).答案:B3.已知不等式
2、(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.8B.6C.4D.2解析:(x+y)(+)=1+a·++a≥a+1+2=a+2+1,当且仅当a·=等号成立,所以()2+2+1≥9,即()2+2-8≥0,得≥2或≤-4(舍),所以a≥4,即a的最小值为4.答案:C4.(·太原模拟)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数f(x)=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点,则当+取最小值时,函数f(x)的解析式是________.解析:函数f(x)=ax+1+1的图象恒过(-1,2),故a+b=1,+=(a+b)(+)=++≥+.当且仅
3、当b=a时取等号,将b=a代入a+b=1得a=2-2,故f(x)=(2-2)x+1+1.答案:f(x)=(2-2)x+1+1题组二利用基本不等式证明不等式5.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )A.ab≤B.ab≥C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3解析:法一:由≥得ab≤()2=1,又a2+b2≥2ab⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒a2+b2≥2.法二:(特值法)取a=0,b=2满足a+b=2,代入选项可排除B、D.又取a=b=1满足a+b=2.但ab=1,可排除A.答案:C6.设a、b是正实数,以下不等式①>;②a>
4、a-b
5、-b;③a2+b2>4ab-3b2;④
6、ab+>2恒成立的序号为( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析:∵a、b是正实数,∴①a+b≥2⇒1≥⇒≥.当且仅当a=b时取等号,∴①不恒成立;②a+b>
7、a-b
8、⇒a>
9、a-b
10、-b恒成立;③a2+b2-4ab+3b2=(a-2b)2≥0,当a=2b时,取等号,∴③不恒成立;④ab+≥2=2>2恒成立.答案:D7.已知a、b、c∈(0,+∞)且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥8.证明:∵a、b、c∈(0,+∞)且a+b+c=1,∴(-1)(-1)(-1)==≥=8.当且仅当a=b=c=时取等号.题组三基本不等式的实际应用8.(·惠州模拟)某商场中秋前30
11、天月饼销售总量f(t)与时间t(012、由已知y1=2=,得k1=y1=,y2=8=k2·10,得k2=,∴y2=d,∴y1+y2=+≥2=8,当且仅当=,即d=5时,费用之和最小.答案:510.(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162x平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.解:(1)设污水处理池的13、宽为x米,则长为米.则总造价f(x)=400×(2x+)+248×2x+80×162=1296x++12960=1296(x+)+12960≥1296×2+12960=38880(元),当且仅当x=(x>0),即x=10时取等号.∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.(2)由限制条件知,∴10≤x≤16.设g(x)=x+(10≤x≤16),由函数性质易知g(x)在上是增函数,∴当x=10时(此时=16),g(x)有最小值,即f(x)有最小值1296
12、由已知y1=2=,得k1=y1=,y2=8=k2·10,得k2=,∴y2=d,∴y1+y2=+≥2=8,当且仅当=,即d=5时,费用之和最小.答案:510.(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162x平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.解:(1)设污水处理池的
13、宽为x米,则长为米.则总造价f(x)=400×(2x+)+248×2x+80×162=1296x++12960=1296(x+)+12960≥1296×2+12960=38880(元),当且仅当x=(x>0),即x=10时取等号.∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.(2)由限制条件知,∴10≤x≤16.设g(x)=x+(10≤x≤16),由函数性质易知g(x)在上是增函数,∴当x=10时(此时=16),g(x)有最小值,即f(x)有最小值1296
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