高考数学复习点拨 例谈反证法在解题中的应用

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1、例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：　　（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；　　（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；　　（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.　　其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.　　一、证明“至多”或“至少”问题　　例１　已知函数对其定义域内的任意两个实数，当时，都有．求证：至多有一个实数使得．　　证明：假设存在两个不等实数，使得．　　不妨设

2、，由条件可知，与式矛盾．　　故至多有一个实数使得．　　二、证明“不可能”问题　　例2　给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴．　　证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．　　设且．由，　　得，　　解得．与已知矛盾．　　故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.　　例3　双曲线的两支为，正三角形的三顶点位于此双曲线上．求证：不可能在双曲线的同一支上．　　证明：假设正三角形的三顶点位于双曲线同一支如上，其坐标分别为，不妨设，则一定有．　　于是　　　　．　　因此，．这说明

3、是钝角三角形，与为正三角形矛盾．故不可能在双曲线的同一支上．　　三、证明“存在性”或“唯一性”问题　　例4　已知函数的图象过点．问是否存在常数，使不等式对一切实数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．　　解：假设存在符合条件的．　　的图象过，　　，即．　　又对一切实数都成立，　　令，则．　　，，．　　．　　由得　　据题意，对于任意实数，与都成立．　　对于，若，则，不合题意；若，欲使的解集为，则需即解得．　　对于，再考虑，把代入，得，其解集为．　　所以，存在满足条件的，其中．