高考数学复习点拨 简易逻辑中的典型错误剖析

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1、简易逻辑中的典型错误剖析学习简易逻辑可以使我们增强判断是非的能力和推理能力.但由于内容比较抽象,初学者易出现理解上的错误,下举例说明.例1试判断下列语句是否构成命题:（1）难道0不是偶数吗?（2）>0；（3）.错解:由于语句(1)是问句,所以不是命题;而(2)、(3)两句表示均给出了判断所以都是命题。剖析：命题的定义是：可以判断真假的语句叫命题。因此语句是否构成命题，关键在于能否判断其真假。语句（1）是反问句，其实质是表示“0是偶数”这一判断，因此是命题，并且是真命题；语句（2）中，在没有给出的范围之前无法判断其真假，因此该句不构成命题（称为开语句）；而语句（3）中，虽然也没有给出的范

2、围，但对一切实数恒成立，因此该语句构成命题，且是真命题。例2试判断下列命题是简单命题还是复合命题：（1）6≥5；（2）有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。错解：由于命题（1）与（2）没有逻辑联结词，因此都是简单命题；而命题（3）含有逻辑联结词“且”，因此该命题是复合命题。剖析：要判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能只形式上看字面中有没有逻辑联结词，而是在准确理解复合命题的概念的基础上看其实质。复合命题“p或q”、“p且q”是指用“或”与“且”联结两个命题p、q，而构成新的命题。命题（1）虽然字面上没有“或”、“且”逻辑联结词，但它

3、实质上表示：6大于或等于5，即是由p：6>5、q:6=5构成的一个“p或q”形式的复合命题；同样，命题（2）是由p：有两个角是45°的三角形是等腰三角形、q:有两个角是45°的三角形是直角三角形构成的一个“p且q”形式的复合命题；命题（3）中的“且”并非逻辑连接词，而是与自然语言中的连词“和”含义相同，正像“小李和小王是一对夫妻”中的“和”一样。所以命题（3）是简单命题。例3命题“方程的两个根是或”是简单命题吗？错解：该命题是简单命题。这是因为，若是复合命题，则有p：方程的根是；q方程的根是；p或q：方程的两个根是或。由于这里p、q均是假命题，而“p或q”却是真命题，这显然是矛盾的。因

4、此该命题是简单命题。剖析：命题中的“或”显然是逻辑联结词，而不是自然语言中连词，因此该命题是复合命题。错解只是从形式上进行转化分析，并没有抓住实质。该命题在实质上等价于“方程有一个根是或方程有一个根是”，因此该命题是“p或q”形式的复合命题。例4写出下列命题的否定命题：（1）0和2都是偶数；（2）三角形至多有一个内角是钝角；（3）有些三角形是锐角三角形；（4）实数的平方是非负数。错解：否定命题分别是：（1）0和2都不是偶数；（2）三角形至少有一个内角是钝角；（3）有些三角形不是锐角三角形；（4）实数的平方是非正数。剖析：一个命题的否定命题与原来的命题是一真一假，一假一真，构成一对矛盾命

5、题。因此在构成否定命题时，不能简单地把原来命题中的“是”该成“不是”，“多”该成“少”等，而是要注意构成两个命题间的矛盾关系。理解并掌握下列词语的否定很有用处：词语是都是一定是至少有一个至多有一个大于（＞）小于（＜）且词语的否定不是不都是一定不是一个也没有至少有两个不大于（≤）不小于（≥）或正确答案应该是：（1）0和2不都是偶数；（2）三角形至少有两个内角是钝角；（3）所有的三角形都不是锐角三角形；（4）存在一个实数的平方是负数。例5写出下列命题的否定命题：（1）若，则且；（2）若1是偶数，则4是偶数。错解：否定命题分别是：（1）若，则或；（2）若1是偶数，则4不是偶数。剖析：一个命题

6、的否定与该命题的否命题并不等价。“若p则q”型命题的否命题是“若非p则非q”，但否定命题应该是“p则非q”，注意不能写成“若p则非q”。因此错解的错误在于：命题（1）的否定误写为原命题的否命题；命题（2）错写成了“若p则非q”的形式。我们说过，命题与该命题的否定应该是一真一假，一假一真，构成矛盾关系。而命题（2）是真命题，则其否定命题应是假命题，但“若1是偶数，则4不是偶数”显然是真命题。因此正确答案是：（1），且或；（2）1是偶数，且4不是偶数。