高考数学复习点拨 感悟“合情推理”

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1、感悟“合情推理”合情推理包括归纳推理和类比推理：归纳推理是由特殊到一般，常用于数列中（如求通项），归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的，因此结论不一定完全正确。但是在进行归纳推理的过程中，具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有利的。观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一。类比推理是由特殊到特殊，类比常用于立体几何与平面几何、向量运算与实数运算、圆锥曲线、等差数列与等比数列之间。类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的特性，它以旧有认识作基础，类比

2、出新的结果，类比的结果是带有猜测性的，因此也不一定可靠，但它却具有发现的功能。一、归纳推理例1设是首项为1的正项数列，且（），则它的通项公式为。解析：由得（舍去）；由得（舍去）；由得（舍去）。故推测，代入等式验证，等式成立。答案应填。评注：归纳推理的关键在于如何发现规律，推测出一般性命题。例2在德国不来梅的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的产品，其中第一堆只有一层，就一个球；第2，3，4，…堆最低层（第一层）分别按图1，2，3所示方式固定摆放。从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球

3、总数，则；（用含的式子表示）。图1图2图3解析：设第堆底层乒乓球数为，则，，，…，则+…。∴=10。+…………。评注：解答本题的关键是先归纳推理出底层乒乓球数的规律，再结合空间想象能力归纳出第堆实质是由第一堆底层到第堆底层垒起来的正三棱锥。二、类比推理例3通过类比圆的有关性质，推测球的有关性质。解析：平面中圆与空间中的球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性，在圆与球的相关元素之间建立如下的对应关系：圆心——球心，直径——大圆，弦——截面圆，周长——表面积，圆面积——球体积等。如下表所示：圆球与圆心距离相等的两弦长相等与球心距离相等的两截面圆面积相等圆心与弦（

4、不是直径）的中点的连线垂直与弦球心与截面圆（不是大圆）的圆心的连线垂直于截面圆圆的周长球的表面积圆的面积球的体积其中前三个类比得到的结论是正确的，最后一个则是错误的。评注：类比推理的结论可能为真，也可能为假。例4在平面几何中有如下特征：从一个角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值，类比上述性质，请叙述在立体几何（空间）中相应的特征：。（写出一条类比性质即可）。解析：由平面几何的特征，立体几何中相应的性质有：（1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值。（2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的距

5、离之比为定值。（3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。（4）在空间，射线上任意一点到射线、、的距离之比不变。（5）在空间，射线上任意一点到平面、、的距离之比不变。当然，只需写出一条性质即可。评注：类比是根据两种事物某些属性的相似，推断出它们其他属性也可能相似的一种推理方法，是提出新问题和做出新发现的重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。