牛顿牧场问题中的数学模型及应用

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1、牛顿牧场问题中的数学模型及应用牛顿牧场问题中的数学模型及应用《数学课程标准》指出：数学教学应让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握并发展应用数学知识的意识和能力。数学中的定义、概念、定理、公式等都是从现实世界中经过逐步抽象、概括而得到的数学模型，中学数学的学习、应用过程就是数学模型的学习过程。近年来，不少地区数学中考出现了以牛吃草问题为背景的试题，这类化归建模问题解决的应用性问题，有利于增强学生用数学的意识，提高分析问题、解决问题的能力。但许多考生因缺乏数学建模能力，对此类问题解答却不尽人意。为此，本文从数学建模角度加以分析，供大家参考。　　一

2、、问题提出　　原型：12头公牛在4个星期内吃掉了3由格尔的牧草；21头公牛在9星期内吃掉10由格尔的牧草，问多少头公牛在18星期内吃掉24由格尔的牧草？（由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2500平方米）　　这是一道有趣的应用性问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的，称为牛吃草问题，又称为消长问题或牛顿牧场，属世界名题之一，具有培养学生分析问题能力和思维能力的功能，需要学生全面思考，深入挖掘，抓住问题的本质。　　简化型：有一块牧场草地，长得一样密，一样快。若每头牛每天吃的草量相同，如果饲养27头牛，这些牛6天可以把草吃完；如果饲养23头牛，这些牛9天可以把草吃完

3、；如果饲养21头牛，这些牛多少天可以把草吃完？　　二、问题解决　　1.理解问题背景　　应用问题的解决，首先要正确理解题意。充分理解问题的背景，既是解答的起点，也是建模的关键。在这个问题中涉及的量有牛的头数、草地面积、牛吃草天数，而其中草地面积是一个变化的量，即牛每天在吃草，草则每天在生长，这是一个动态问题。一般来说，对于动态问题中的相等关系，可在发生变化的事物中来分析。如对于发生量变的事物，可以从量的方面来分析，一方面，牧场上的草会随时间的增加而不断生长；另一方面，每头牛吃的草量相等，且牛吃草的总量不会超过牧场原有的草量与每天新生长的草量之和，因而牧场中总的草量又会不断减少

4、，直至被吃完。换一个角度看，即在草全部被吃完的时间内，牛吃的草量比生长的草量多，其差值就等于牧场原有的草量。掌握了这一点就等于抓住了事物的本质，找到了问题解决的切入点，这正是解决牛吃草问题的重要策略。　　2.构建数学模型　　解决实际应用问题，更重要的是思维模式的建立，它主要表现在对数学思想方法的构建上。构建数学模型是解决应用问题的一种重要的思考方法，其关键在于把实际问题抽象成数学问题。为此，首先要把题设中某些条件进行数学化，然后再寻找等量关系，根据等量关系建构函数或方程的模型等。　　（1）模型1：函数模型　　分析：以牛吃草的时间为x轴，牧场的草量为y轴建立平面直角坐标系（如

5、图所示），可得函数模型（一）：　　AB表示牧场的草量随时间变化的图象，OB表示21头牛吃草，草量随时间变化的图象。设每头牛每天吃草为m，21头牛把草吃完要z天，则DG表示21头牛6天吃的草量，即DG=216m；CG表示6天后牧场的草量，它与27头牛6天吃的草量相同，即CG=276m；CD=CG-DG=36m，同理FH=219m，故EH=239m，EF=EH-FH=18m，显然ΔBEF与ΔBCD相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：　　此模型综合运用了函数和几何的有关知识，体现了数形结合的数学思想方法，生动地展现了数学知识间的内在联系，是综合运

6、用数学知识解决问题的一种重要模式，有利于提高分析问题和解决问题的能力。另外，从形式上看，它减少了两个未知数，给运算带来了极大的方便，可减少解决问题中的思维障碍。　　（2）模型2：方程模型　　分析：设牧场原有草量为a，每头牛每天吃草量为x，牧场每天生长的青草量为y，21头牛z天可把牧场的草吃完，则有：　　①6天生长的草为6y，9天生长的草为9y，z天生长的草为zy。　　②27头牛6天吃的草为276x，23头牛9天吃的草为239x，21头牛z天吃的草为21zx。　　建模：这是一个动态问题，牧场草地在不断变化着，但不难发现，每天牛吃草总量不会超过牧场原有的草量与每天新生长的草量的

7、和，而当牧场草被吃完时，存在如下等量关系：牛吃草的总量=牧场原有草量+牧场生长的总量。由此可建立方程组模型（二）：　　276x=a+6y①239x=a+9y②21zx=a+zy③　　由①②得：y=15x，由①③得：3x（7z一54）=（z-6）y，从而解得z=12。故饲养21头牛，12天可以把草吃完。值得注意的是，这里原草量a是一个辅助未知数，解题时将辅助未知数消去，从而求出原问题的解。　　另外，考虑到每头牛每天吃的草量相等，也可以建立分式方程组的模型（三）：　　此模型的特点是减少了一个未知数。　　三、应用举例