高考数学复习点拨 活跃在高考中的正方体问题

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1、活跃在高考中的正方体问题正方体是立体几何中最常见的几何体，立体几何中许多概念、定理都可以用正方体的点、线、面的关系说明，因此正方体有“百宝箱”的美称．故也成为考查立体几何知识的主要载体，下面加以分类说明．一、探求正方体的截面问题作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出交线．　　例1　正方体中，分别是的中点．那么，正方体的过的截面图形是（　　）　　Ａ．三角形Ｂ．四边形Ｃ．五边形Ｄ．六边形　　解析：如图1，设的中点是，则，所以在平面上，容易看出平面与都有交

2、点（由对称性可知这两个交点分别是的中点），所以的截面图形是六边形，选（Ｄ）．　　点评：正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形这四种图形，特别要注意以下几个结论：①当截面是三角形时，必然是锐角三角形；②当截面是四边形时，可以是正方形、长方形、平行四边形、菱形、梯形，一定是至少一组对边平行，但不可能是直角梯形；③当截面是五边形时，不可能是正五边形；④当截面是六边形时，可以是正六边形．二、求解正方体中有关元素间的距离例2　如图2，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：取的中点，连结

3、交于，取的中点，连结，则，又在正方体中平行于平面．则到平面距离转化为到平面的距离，即，故选（Ｂ）．点评：立体几何中“点面距离”其解法有：①直接法，②转化为“线面距离”，③运用“等积法”求解．本题转化为“线面距离”求解．三、以正方体为载体考查线面的位置关系例3　在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于，则①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；③四边形在底面内的的投影一定是正方形；④四边形有可能垂直于平面．以上结论正确的为　　　　　．（写出所有正确结论的编号）解析：如图3，①平面与相对侧面相交，交线互相平行，四边形一

4、定是平行四边形，②四边形若是正方形，则，又，平面，这与实际产生矛盾；③四边形在底面内的投影是正方形；④当分别是的中点时，．又平面，四边形有可能垂直于平面，故填①③④．点评：本题是多选题，是近年高考填空题的热点题型．它弥补了数学选择题是单选题的缺陷，有时也在选择题中以多选组合型给出．此类题应逐一判断真假，不能多选，也不能少选．