高考数学 复习点拨 求双曲线方程的三个掌握

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1、求双曲线方程的三个掌握1．求双曲线的标准方程时，应首先判断其焦点的位置，若焦点的位置难以确定，则可以设出双曲线方程的一般式。2．要准确把握双曲线的焦点、焦距，掌握与标准方程有关的三个常数、、之间的关系，、、都为正数且最大，其结构类似于勾股定理，有。3．已知求，可以利用，已知时，往往利用余弦定理，并且对进行平方。1．熟练掌握与双曲线的定义有关的问题例1是双曲线的一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值。分析：利用双曲线的定义求解。解析：在双曲线中，，故。由是双曲线上的一点，得，∴，或。又得。评注：该例易忽略这一条件，而得出错误的结论，或。例2在中，固定，顶点移动，设，当三个角满足时，求点的轨迹方程

2、。分析：利用正弦定理实现边角转换，再利用双曲线的定义求轨迹是解题的关键。解析：以所在的直线为轴，以线段的中点为原点建立直角坐标系，则、。设点坐标为，由题设，根据正弦定理得，可知在、为焦点的双曲线上。这里，∴，又，∴，故所求点的轨迹方程为。评注：求轨迹要做到不重不漏，应把不满足条件的点去掉，这里是的顶点，所以应去掉与、共线的点。2．熟练掌握与双曲线的标准方程有关问题例3求以曲线和的交点与原点的连线为渐进线，且实轴长为12的双曲线的标准方程。分析：先求出渐进线方程，确定出其斜率，再结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数。解析：∵，∴或，∴渐进线方程为。当焦点在轴上时，由且得，∴所求双曲线方程为

3、；当焦点在轴上时，由且得，∴所求双曲线方程为。评注：“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握。例4设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求此双曲线的方程。分析1：利用待定系数法求得、。解法1：设双曲线的方程为，由题意可知，∴。又点的纵坐标为4，则横坐标为，于是有解得∴所求双曲线方程为。分析2：求出交点坐标利用双曲线定义来求解。解法2：将点的纵坐标代入椭圆方程得，又两交点分别为，，∴，∴，。∴所求双曲线方程为。分析3：因双曲线与椭圆有相同的焦点，双曲线方程可设为，然后利用交点坐标求解。解法3：由题意设双曲线方程为，将代入得，（舍去）。∴所求双

4、曲线方程为。评注：该题运用了三种解法，解法1、解法2是基本解法；而解法3有一定的技巧性。3．熟练掌握双曲线方程的一般式例5已知双曲线经过点及点，求它的标准方程。分析：若设成标准方程，应首先考虑焦点的位置，若采用双曲线方程的“一般式”，则非常简捷。解析：设双曲线方程为，则，解之得，。∴所求双曲线方程为。评注：本题采用一般式，省去了焦点所在的位置，提高了解题效率。