高考数学复习点拨 感悟坐标法求轨迹方程

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1、感悟坐标法求轨迹问题求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标所满足的等量关系，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系。一、求轨迹方程的一般步骤1．建系：建立适当的直角坐标系；2．设点：用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；3．列式：列出关于，的方程；4．化简：把方程化简为最简形式；5．证明：证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。注意：（1）根据题目中的条件不同，应选择建立适当的坐标系，使其有利于解题；（2）因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤5可以不写，如果有

2、特殊情况，可适当予以说明；（3）求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事，求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时由已知条件先判断出轨迹图形，然后由图形求方程；“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；“轨迹方程”是方程（等式），不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。二、范例剖析例1已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。解析：设点是曲线上的任意一点，根据题意，得它到轴的距离是，∴，化简整理可得。∵曲线在轴的上方，，虽然原

3、点的坐标满足方程，但不属于已知曲线，∴所求曲线方程为。评注：求曲线的方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还要说明所求轨迹是什么样的图形，在何处。即图形的形状、位置、大小都需说明，讨论清楚。例2已知的边长为，若的中线为定长，求顶点的轨迹方程。解析：由题意，以线段的中点为原点，边所在的直线为轴建立直角坐标系，如图1所示，则，。图1设，则线段的中点为。∵，∴，化简得。由于点在直线上时，不能构成三角形，故去掉曲线与轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是。评注：该例题目中没有给出坐标系，因此要先建立直角坐标系，准确地设

4、出动点的坐标，根据已知条件列式求解。用坐标法来求圆的方程，化简后，还要再根据题意看一看该方程有没有多余的点，有没有漏掉一些特殊的点，多余的去掉，漏掉的再添上，特殊的点一般考虑与轴或者轴的交点。例3建立适当的直角坐标系，求长为8，宽为6的长方形的外接圆的方程。解析：方法1：以为原点，以线段所在的直线为轴，建立如图2所示的直角坐标系。图2由题意可得，，根据长方形的性质，外接圆的圆心就是对角线的中点，直径就是线段，∴圆心，外接圆的半径为5。故所求外接圆的方程为。方法2：以为原点，以线段所在的直线为轴，建立如图2所示的直角坐标系。设

5、的外接圆的一般方程为，将三点、、代入得，解之得。故所求圆的方程为。评注：三角形或矩形等外接圆的问题，实际上还是求过三点的圆的方程的问题，一般设圆的一般方程来求，但也可以写出三角形的外心或长方形的外接圆圆心以及半径，根据圆的标准方程来求。