高考数学直线平面与简单几何体测试

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1、专题二十直线与平面综合问题1.已知四棱锥（如图），底面是边长为2的正方形，侧棱底面，、分别为、的中点，于，直线与平面所成角的正弦值为．⑴求证：平面平面；⑵求的长；⑶求二面角的余弦值．2．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点．⑴求证：平面；⑵求点到平面的距离；⑶求二面角的大小．3．如图，在直三棱柱中，，⑴证明：；⑵求点到平面的距离⑶求二面角的大小4．已知四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点．⑴求证：平面；⑵求与平面所成角的大小；⑶求二面角的大小．5．直四棱柱的底面是菱形，且，，为棱的中点，为线段的

2、中点．⑴求证：直线平面；⑵求证：直线平面；⑶求平面与平面所成二面角的大小．6．已知四棱锥的底面是菱形，，，点是边的中点．⑴求证：平面；⑵若二面角的大小等于，且，．①求点到平面的距离；②求二面角的大小．1.解法一：⑴∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD，∴MN⊥PA.又MN⊥AD，PA∩AD=A，∴MN⊥平面PAD.∵MN平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD.⑵∵BC⊥BA，BC⊥PA，PA∩BA=A，∴BC⊥平面PBA.∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角，即sin∠BPC=.在Rt△PBC中，PC=，（II

3、I）由（I），MN⊥平面PAD，知PM⊥MN，MQ⊥MN，∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角.而解法二：⑴以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（图略）.设PA=a，则A（0，0，0），B（2，0，0）C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，a），M（0，1，0），N（2，1，0）.∴MN⊥平面PAD.∵MN平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD.⑵平面PBA的一个法向量为.∵直线PC与平面PBA成角的正弦值为即⑶同解法一的⑶2．解法一：⑴取B1C1中点D，

4、连结ND，A1D，所以DN//BB1///AA1又，所以四边形A1MND为平行四边形，所以MN//A1D；又，所以MN//平面A1B1C1；⑵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以CC1⊥BC，又∠ACB=90°，所以BC⊥平面A1MC1，在平面ACC1A中过C1做C1H⊥CM，又BC⊥C1H，所以C1H为C1到平面BMC的距离.在等三角形CMC1中，CC1=，所以⑶在平面ACC1A1上作CF⊥C1M，交C1M于点E，A1C1于点F.则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，所以BE⊥CM1，所以∠BEF为二面角

5、B—C1M—A1的平面角.在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=，所以所以…14分解法二：⑴如图，以点C为坐标原点，以CB所在直线为Ox轴，CA所在直线为Oy轴，CC1所在直线为Oz轴，建立空间直角坐标系.由已知得、、.,,所以所以所以MN//A1D；又所以MN//平面A1B1C1；⑵B（2，0，0）、C（0，0，0），设垂直于平面BCM的向量所以所以所以C1到平面BMC的距离为⑶三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，所以CC1⊥BC，设垂直于平面BMC1的向量所以即所以所求二面角的大小3．解法一：⑴在直三棱柱AB

6、C—A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC．因为BC=CC1，所以BCC1B1为正方形．又，所以AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1，连结B1C，则B1C为AB1在平面BCC1B1上的射影，因为B1C⊥BC1，所以AB1⊥BC1．⑵因为BC//B1C1，BC面AB1C1，所以BC//面AB1C1，所以点B到平面AB1C1的距离等于点C到平面AB1C1的距离．连结A1C交AC1于H，则CH⊥AC1，由于B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，B1C1⊥CH，所以CH⊥平面

7、AB1C1，所以CH的长度为点B到平面AB1C1的距离．因为，所以点B到平面AB1C1的距离为．⑶取A1B1中点D，连结C1D．因为△A1B1C1是等腰三角形，所以C1D⊥A1B1，又BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥C1D，所以C1D⊥平面ABB1A1．作DE⊥AB1于E，连C1E，则DE为C1E在平面ABB1A1上的射影，所以C1E⊥AB1，∠C1ED为二面角C1—AB1—A1的平面角．由已知，∴，即二面角C1—AB1—A1的大小为60°．解法二：⑴如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.依题意A（2，0，0

8、），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），因为，所以AB1⊥BC1.⑵设是平面AB1C1的法向量，由得所以令，则，因为，所以，B到平面AB1C1的距离为.⑶设是平面A1AB1的法向量.由令=1，则因为，所以，二面角C1—AB1—A1的大小为60°.4．东城区二模文科第17题，理科第16题解法一：⑴取PC的中点O，连结OF、OE.∴，且∴∵