实对称矩阵有定性在经济分析中的运用研究

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1、实对称矩阵有定性在经济分析中的运用研究摘要:通过实对称矩阵有定性在计量经济学和微观经济学部分择优问题中的运用的探讨,对相关经济理论进行了数学定量解释,帮助加深对相关经济理论的理解。结合具体例子所作的详细说明为理论的运用提供了一般方法,该方法为实对称矩阵有定性理论在其他问题中的运用可以方便地移植。　　关键词:实对称矩阵;有定性理论;经济分析;择优理论　　中图分类号:F12=+(XTX)-1XT-　　=(XTX)-1XT=A)　　从而得到:　　Var(

2、X)=Var(-

3、X)　　=Var((D+A)

4、X)　　=(D+A)Var(

5、X)(D+A)T(注:A与D都是X的函数)　

6、　=(D+A)(σ2In)(DT+AT)　　=σ2(D+A)(DT+AT)(注:σ2是标量,In是n阶单位矩阵)　　=σ2(DDT+ADT+DAT+AAT)　　注意到DAT=D((XTX)-1XT)T=DX((XTX)-1)T=O(注:DX=O)　　ADT=(DAT)T=O　　AAT={(XTX)-1XT}{XTX)-1XT}T={(XTX)-1(XTX)}(XTX)-1=(XTX)-1　　于是Var()σ2{DDT+(XTX)-1}(注:DDT为半正定矩阵,且≥σ2(XTX)-1(XTX)-1+DDT-(XTX)-1=DDT,　　=Var(

7、X)　　由定义(2)知DD

8、T+(XTX)-1≥(XTX)-1)　　最后一个等式成立是因为:　　Var(

9、X)=Var{(-)

10、X}(注:不是随机变量)　　=Var(A

11、X)　　=AVar(

12、X)AT(注:A是X的函数)　　=AE(T

13、X)AT(注:用基本假定(2))　　=A(σ2In)AT　　=σ2AAT　　=σ2(XTX)-1　　可见这个重要定理的证明,实对称矩阵的有定性起到了不可替代的作用。　　三、无条件极值二阶充分条件在微观经济学中的运用　　(一)无条件极值的二阶充分条件　　设n元实函数f(x2,x2,…,xn)有连续的二阶偏导数,并记≡fi、≡fij,由杨定理可知fij=fji。　　*为

14、极值点的一阶必要条件是众所周知的:　　fi

15、=0(i=1,2,…,n)　　而*为极值点的二阶充分条件则需要考察如下形式的海赛(Hessian)矩阵:　　H=f11f12…f1nf21f22…f2n…………fn1fn2…fnn　　由于fij=fji,所以矩阵H为对称矩阵。二阶充分条件可叙述为:　　(1)H在*为负定矩阵,则*为相对极大值点;H处处为半负定矩阵,则*为绝对极大值点;H处处为负定矩阵,则*为唯一的绝对极大值点。　　(2)H在*为正定矩阵,则*为相对极小值点;H处处为半正定矩阵,则*为绝对极小值点;H处处为正定矩阵,则*为唯一的绝对极小值点。　　(3)H在*为不

16、定矩阵,则*不是极值点(鞍点)。　　关于H有定性的判别方法,可以在定理(2)与定理(3)中选择。　　(二)二阶充分条件的运用　　1.多产品厂商问题　　假设有一个完全竞争环境下的两产品厂商。因在完全竞争环境下,两商品的价格必然是外生的,分别用P10与P20表示。据此,厂商的收益函数为:　　R=P10Q1+P20Q2　　其中,Qi(i=1,2)表示单位时间内第i产品的产量。假设厂商的成本函数为:　　C=2Q21+Q1Q2+2Q22　　则其利润函数可以写成:　　π=R-C=P10Q1+P20Q2-2Q21-Q1Q2-2Q22　　下面要完成的任务是求出使π最大化的产出水平Q1与

17、Q2的组合。为此,先求出利润函数的一阶偏导数:　　π1(≡)=P10-4Q1-Q2　　π2(≡)=P20-Q1-4Q2(1)　　令二者等于零,为满足最大化条件,得到方程组:　　4114Q1Q2=P10P20　　产生唯一解Q*=Q*1Q*2=4P10-P204P20-P10　　具体的,若P10=12,P20=18,则有Q*1=2,Q*2=4,这可能意味着单位时间的最大利润为π*=48。　　为确认此值的确是最大利润,现在检验二阶充分条件。从一阶偏导数容易得到二阶偏导数并得到如下海赛矩阵:　　H=π11π12π21π22=-4-1-1-4　　因为

18、H1

19、=-4<0,

20、H

21、2

22、=-4-1-1-4=15>0,所以H为负定矩阵。又因为顺序主子式的符号与它们在何处记值无关,故H在本例中处处负定,从而Q*是唯一的绝对极大值(最大值)点。　　2.多产品厂商在垄断市场环境中的问题　　仍假定厂商生产两种产品。但由于市场环境发生了变化,收益函数必须反映如下的事实:两产品的价格将随产出水平的变化而变化。当然,价格随产出水平变化的确切方式还有待于从厂商两种产品的需求函数中求出。　　假设对垄断厂商产品的需求函数如下:　　Q1=40-2p1+p2　　Q2=15+p1-p2(2)　　以上两个方程揭示出,两种产品在消费中存在某种