高考数学复习点拨 数学归纳法常见错误剖析

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1、数学归纳法常见错误剖析初学数学归纳法常出现下面的错误，剖析如下：1、不用假设致误例1用数学归纳法证明：1。错证：①当时，左边＝1，右边＝＝1，所以等式成立。②假设当时等式成立。即。那么当时，，也就是说当时，等式成立。由①②知：对任何等式都成立。剖析：用数学归纳法证明第②步骤时，在从“”到“的过程中，必须把的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出时的命题所以在推导过程中。故必须把时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。正解：①当时，左边＝1，右边＝＝1，所以等式成立。②假设当时等式成立。即。那么当时，＝。即当时，等式成立。由①②知

2、：对任何等式都成立。2、盲目套用数学归纳法中的两个步骤致误例2当为正奇数时，能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。命题成立。⑵假设当n=k时命题成立。即能被8整除。则当n=k+1时，不能8整除.由（1）（2）知n为正奇数。7不能被8整除分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是整奇数的条件。证明前要看准已知条件。正解（2）n=k时命题成立，即7能被8整除。当n=k+2时，＝49（7因7能被8整除。且48能被8整除。所以能被8整除。所以当n=k+2时命题成立。由⑴⑵知当

3、为正奇数时，7能被8整除。三没有搞清从k到k+1的跨度例3：求证：错证：（1）当＝1时，不等式成立。（2）假设n=k时命题成立，即则当n=k+1时，就是说当n=k+1时不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。点评：上述证明中，从k到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是，跨度是三项。正确证法：（1）当＝1时，左边＝，不等式成立。（2）假设n=k时命题成立，即，则当n=k+1时，＝（）＋＋>1＋=1＋。这就是说，当时，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。