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1、课时训练48抛物线【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(江苏南通九校模拟，2)抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为（）A.B.-C.4D.-4答案：B解析：y=ax2x2=y,又准线方程为y=1,故-=1,a=-.2.(江苏苏州一模，5)抛物线y=x2的焦点坐标是（）A.（0，）B.（，0）C.（1，0）D.（0，1）答案：D解析：y=x2x2=4y,其焦点为（0，1）.3.(中科大附中模拟，7)已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点（m
2、,-2）到焦点的距离为4，则m的值为（）A.4B.-2C.4或-4D.2或-2答案：C解析：设抛物线方程为x2=-2py,(p>0),则-(-2)=4,p=4,故抛物线方程为x2=-8y,m2=-8×（-2）,m=±4.4.(湖北黄冈一模，11)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1)、Q（x2,y2）两点，若x1+x2=3p，则
3、PQ
4、等于（）A.4pB.5pC.6pD.8p答案：A解析：
5、PQ
6、=
7、PF
8、+
9、FQ
10、=x1++x2+=x1+x2+p.又x1+x2=3p,故
11、P
12、Q
13、=4p.5.(江苏南通九校模拟，9)已知点P（m,3）是抛物线y=x2+4x+n上距点A（-2,0）最近一点，则m+n等于()A.1B.3C.5D.7答案：C解析：由已知得P为抛物线的顶点（-2，3），故3=(-2)2+4×（-2）+n,n=7,m+n=-2+7=5.6.(浙江联考，7)一动圆圆心在抛物线x2=4y上，过点（0，1）且恒与定直线l相切，则直线l的方程为()A.x=1B.x=C.y=-1D.y=-答案：C解析：根据抛物线定义，圆心到焦点(0,1)的距离与到准线的距离相等，故l为准线y
14、=-1.7.(北京东城区一模，8)已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A（，4），则
15、PA
16、+
17、PM
18、的最小值是()A.B.4C.D.5答案：C解析：
19、PA
20、+
21、PM
22、=
23、PA
24、+
25、PM
26、+-=
27、PA
28、+
29、PF
30、-≥
31、AF
32、-=-=.二、填空题（每小题5分，共15分）8.过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有_____________条.答案：3解析：两条切线和一条平行于对称轴的直线，应填3.9.过抛物线y2=4x的焦点F，作倾角为的弦AB，则AB的长是
33、_____________.答案：解析：利用结论
34、AB
35、=.10.(湖北十一校大联考，16)设PQ是抛物线y2=2px(p>0)上过焦点F的一条弦，l是抛物线的准线，给定下列命题：①以PF为直径的圆与y轴相切；②以QF为直径的圆与y轴相切；③以PQ为直径的圆与准线l相切；④以PF为直径的圆与y轴相离；⑤以QF为直径的圆与y轴相交.则其中所有正确命题的序号是：________________________.答案：①②③解析：设P(x1,y1),PF中点为A（）,A到y轴的距离为
36、PF
37、,故①正确；同理②也
38、正确；又
39、PQ
40、=x1+x2+p，PQ的中点B（）到准线的距离为,故③正确，④⑤错误.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.（1）求证：
41、AB
42、=;(2)求
43、AB
44、的最小值.（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（,0）.设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·（x-）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+=0.此方程的两根应为交点A
45、、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=.设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为
46、AQ
47、和
48、BN
49、，根据抛物线的定义，有
50、AB
51、=
52、AF
53、+
54、FB
55、=
56、AQ
57、+
58、BN
59、=x1+x2+p=.（2）解析：因
60、AB
61、=的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，所以，当θ=时，
62、AB
63、有最小值2p.12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？解析：（1）当AB⊥x轴时，m=n=p，∴=.（2）当AB不垂直于x轴时，设A
64、B:y=k(x-),A(x1,y1),B(x2,y2),
65、AF
66、=m,
67、BF
68、=n,∴m=+x1,n=+x2.将AB方程代入抛物线方程，得k2x2-(k2p+2p)x+=0,∴∴==.本题若推广到椭圆，则有=（e是椭圆的离心率）；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有=(e为双曲线的离心率).13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且
69、MA
70、=
71、MB
72、.（1）若M
