高二数学 第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第2试

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1、省(自治区、直辖市)市(县)学校班考号姓名辅导老师装订线装订线装订线………○………………………○………………………○………………………○………………………○………………………○………………………○………………………○………第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包括网络）转载。左视图主视图·俯视图图1一、选择题（每小题4分，共40分.）以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内.1

2、.如图1，一个“半圆锥”的主视图是边长为2的正三角形，左视图是直角三角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为（）（A）.（B）.（C）.（D）.2.两个正数a、b的等差中项是2，一个等比中项是，则双曲线的离心率是（）（A）.（B）.（C）.（D）或.3.设x、y满足，则的取值范围是（）（A）.（B）.（C）.（D）.4.对于任意，都有，则称集合是“和谐”集.在集合的所有非空子集中，“和谐”集有（）（A）2个.（B）3个.（C）4个.（D）5个.5.已知函数的定义域为.设点是函数的图像上的任意一点，

3、过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为，则的值为（）（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.6.设函数，若表示不大于的最大整数，则函数的值域是（）高二第一页共四页（A）.（B）.（C）.（D）.7.函数有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（）（A）.（B）.（C）.（D）.8.设函数,.设且,高二第二页共四页当为偶函数时,那么（）（A）大于零.（B）等于零.（C）小于零.（D）不能确定.9.已知函数,则的零点个数为（）（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.10.Solutionsetoftheineq

4、ualitywithrespecttois（）（A）.（B）.（C）.（D）.二、填空题（每小题4分，共40分.）11.若关于的方程至少有一个实根在区间内，则实数的取值范围为.12.实数满足，则的取值范围是.13.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14.过点作圆的切线，则两个切点A、B所在的直线AB的方程是.15.有一几何体是由圆柱被一个平面截得的，已知截面是一个椭圆，其长轴是5，短轴是4，被截后的圆柱最短母线长为1，则该几何体的表面积是.16.已知数列，，，，……，则是它的第项.17.等边△

5、ABC的边长为，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD折起，使之与△ACD所在平面成1二面角，这时A点到BC的距离是.18.抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3”的概率是.19.经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为.定义在R上的函数，它同时满足具有下述性质：①对任何均有；②对任何均有高二第二页共四页则．三、解答题每题都要写出推算过程.21.（本题满分10分）已知数列和满足，，数列的前和为.（1）设，求证：；（2）求证：对任意的有成立．22.（本题满

6、分15分）设函数．（1）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示），并确定的单调区间；（2）在（1）的条件下，设，函数．若存在使得成立，求的取值范围．高二第三页共四页23.（本题满分15分）已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；高二第四页共四页（2）已知、，试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点

7、称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．