高考数学复习点拨 赋值法在函数中的应用

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1、赋值法在函数中的应用赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法.下面介绍它在函数问题中的应用.一、判断函数的奇偶性例1若(x+y)=(x)+(y)对于任意实数x、y都成立，且(x)不恒等于零，判断函数(x)的奇偶性．解：在(x+y)=(x)+(y)中令x=y=0，得(0)=0．又在(x+y)=(x)+(y)中令y=－x，这样就有：(x－x)=(x)+(－x)，即(0)=(x)+(－x)，又(0)=0，所以(－x)=－(x)，由于(x)不恒等于零，所以

2、(x)是奇函数．二、讨论函数的单调性例2设(x)定义于实数集上，当x＞0时，(x)＞1，且对于任意实数x、y，有(x+y)=(x)·(y)，求证(x)在R上为增函数．证明：由(x+y)=(x)(y)中取x=y=0，得(0)=，若(0)=0，令x＞0，y=0，则(x)=0，与(x)＞1矛盾．∴(0)≠0，即有(0)=1．当x＞0时，(x)＞1＞0，当x＜0时，－x＞0，(－x)＞1＞0，而(x)·(－x)=(0)=1，∴(x)=＞0．又当x=0时，(0)=1＞0，∴x∈R，(x)＞0．设－∞＜x＜x＜+∞，则x－x＞

3、0，(x－x)＞1．∴(x)=[x+(x－x)]=(x)(x－x)＞(x)．∴y=(x)在R上为增函数．三、求函数的值域例3已知函数f（x）在定义域x∈（0，）上是增函数，且满足f（xy）=f（x）＋f（y）（x、y∈R＋），求f（x）的值域.解：因为x=y=1时，f（1）=2f（1），所以f（1）=0又因为f（x）在定义域R＋上是增函数，所以x1>x2>0时，令x1=mx2（m>1），则f（x1）－f（x2）=f（m·x2）－f（x2）=f（m）＋f（x2）－f（x2）=f（m）>0.所以对于x>1有f（x）>0

4、.又设x1=mx2>0（0

5、x

6、≠1的所有实数x，函数f（x）满足+=x，求f（x）的解析式.解：将x取为,代入原等式，有+f（x）=，（1）将x取为,代入原等式，有f（x）+=.（2）（1）＋（2），且将原等式代入即得(

7、x

8、≠1)