高考数学复习点拨 指数函数单调性的应用2

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1、指数函数单调性的应用指数函数y=ax(a>0,a≠1),当a>1时，在R上是增函数；当0x2+x+2)N,比较M与N的大小。分析：（x2+x+2)M与x2+x+2)N底数相同，比较M与N的大小，关键是判断底数与1的大小关系。解：因为x2+x+2=（x+)2+≥>1,所以函数f(t)=(x2+x+2)t在R上是增函数，因为（x2+x+2)M>x2+x+2)N,所以M>N。注：利用指数函数单调性比较两数的大小，如果两个数底不同数应

2、首先化成同底的指数值，再利用指数函数的单调性求解。二、求函数的定义域例2、函数y=的定义域是分析：要使函数有意义，只需被开方的部分大于零。解：要使函数的意义，只需。因为函数y=在R上是增函数，所以只需x≥2，即函数定义域为{x│x≥2}。注：此法主要用于解决使函数有意义的式子是含有指数幂的不等式的问题。三、求函数的最值（值域）例3、求函数y=的最大值。分析：这是由指数函数参与构成的复合函数，应根据复合函数的单调性规律求解。解：因为函数的定义域为R，设u=,因为函数y=在R上是减函数，所以要求函数y=的最大值，只需求出u=的最小值，u==（x-3)2+8

3、≥8，所以函数y=的最大值为=.注：此法主要用于处理含有指数函数的复合函数的最值（值域）。四、求参数的值（范围）例4、是否存在实数a(a>0,且a≠1)，使函数f(x)=在区间[2，4]上是增函数？如果存在，求出a的范围；如果不存在，请说明理由。分析：对于存在型问题，可以先假设存在实数a，通过推理，如果能求出a的范围，则实数a存在，如果求不出a的范围或推出矛盾，则说明a存在。解：假设实数a存在，设g(x)=ax2-x.，若a>1，因为f(x)=在区间[2，4]上是增函数，所以g(x)=ax2-x.在区间[2，4]上也是增函数，应满足，解得a≥,所以a>

4、1.若01，使函数f(x)=在区间[2，4]上是增函数。注：本题主要利用了复合函数的单调性规律。一、证不等式例5、求证：。分析：三个幂的幂指数都相同，可以考虑将除到左边，再使用指数函数的单调性证明。证明：原不等式可化为，构造函数,由指数函数在R上都是减函数，所以R上也是减函数。因为，>2，所以，即。二、其它综合问题例6、对于函数f(x)定义域内任意的x1、x2(x1≠x2)有下列结论：①

5、f(x1+x2)=f(x1)f(x2);②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);③>0;④f()<.当f(x)=lnx时，上述结论是正确结论的序号是分析：因为f(x)=，所以可结合指数函数的性质进行判断。解：因为f(x)=，所以f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，即①正确；由于f(x)=是单调递增函数，所以>0，即③正确；可判断②④均不正确。所以正确结论的序号是①③。