高考数学复习点拨 正态分布剖析

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1、正态分布剖析1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布。一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。例如，产品尺寸；测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、体重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述，另外，一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。2．正态曲线及其性质正态分布函数：，x∈（-∞，

2、+∞）1．正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=E，σ=D。2．正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。（2）曲线关于直线x=μ对称。（3）曲线在x=μ时位于最高点。（4）当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。3．标准正态曲线标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，

3、它是本小节的重点。由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。对于抽象函数，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N（0，1）、x轴、直线所围成的图形的面积。再由N（0，1）的曲线关于y轴对称，可以得出等式，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率。4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，所以，研究其在某个区间的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体转化成标准的正态总体N（0，1）进行研究。人们经过

4、探究发现：对于任一正态总体，其取值小于x的概率。对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。这表明，对等式的来由不作要求，只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可5．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多

5、了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。就是说，这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同。课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一般分三步：第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布。第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）。　第三步，作出推断。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果，由于这是小概

6、率事件，就拒绝统计假设。上面这种拒绝统计假设的推理，与我们过去学习过的反证法有类似之处。事实上，用反证法证明一个问题时，先否定待证命题的结论，这本身看成一个新的命题，从它出发进行推理，如果出现了矛盾，就把这个矛盾归因于前述新命题不正确，从而将它否定。否定了新命题，也就等于证明了原命题的结论。典例剖析：例1．设，且总体密度曲线的函数表达式为：，x∈R。（1）求μ，σ；（2）求及的值。分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ。利用一般正态总体与标准正态总体N（0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正

7、态总体来解决。解：（1）由于，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，，故X～N（1，2）。（2）。又。说明：在解决数学问题的过程中，将未知的，不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的、已解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点。通过本例我们还可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联。例2．公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ε～N（173，7）（单位：cm），问车门应设计多高（精确到1cm）？分析：由题意可知，求的是车门的最低高度，可设其为xcm，使其

8、总体在不低于x的概率小于1%。解：设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm，由题意，需使P(ε≥x)<1%。∵ε～N（173，7），∴。查表得，解得x>179.16，即公共汽车门的高度至少应设计为180cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞。说明：解决本题的关键是在正确理解题意的基础上，