高考数学复习点拨：正态分布剖析

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1、正态分布剖析山东李瑛华1.正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布。一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一-般说來，若彩响某i数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。例如，产品尺寸；测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、休重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布來近似描述，另外，-•些分布乂可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。2.正态曲线及其性质正态分布函数：(A-A)/(x)=e心，xW(・°°,+°°)1.正态分布由参

2、数卩、。唯一确定，如果随机变量g〜N(u,o2),根据定义有:□二Eg,o二D§。Illi线在才轴的上方，与无轴不相交。曲线关于直线%=u对称。曲线在/二卩时位于最高点。当时，曲线上升；当才〉卩时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延2.正态1111线具有以下性质：(1)(2)(3)(4)伸吋，以％轴为渐近线，向它无限靠近。(5)当口一定时，曲线的形状由。确定。。越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散:。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。3・标准正态曲线标准正态Illi线N(0,1)是一•种特殊的正态分布Illi线，它是本小节的重点。由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标

3、准正态分布表”。対于抽象函数①(x0)=p(x_(兀0)=1一①(观),以及标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率P=(D(&)-(P(a)o4.一般正态分布与标准正态分布的转化山于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，所以，研究其在某个区间(石，兀2)的概率时，无法利用标准止态分布表进行计算。这时我们自然会思考：能否将一般的止态总体N(“q2)转化成标准的正态总体N(0,1)进行研究。人们经过探究发现：对

4、于任一止态总体N(//,(t2)，其取值小于x的概率F(x)=①(兰二上)。对于这个公式，课本(J中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。这表明，对等式F(x)二①(兰二兰)的来由不作要求，只要会用它求正态总体N(“q2)在某个特定区间的概a率即可5•“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发牛•的概率小于5%的事件，因为対于这类事件來说，在大量重复试验屮，平均每试验2()次，才能发生1次，所以认为在一次试验屮该事件是几乎不可能发工的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方而的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的

5、，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发牛•的；二是当我们运用“小概率事件儿乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。就是说，这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理冇所不同。课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子來介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一•般分三步：第一步，提出统计假设。课本例了里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布N(“q2)0第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围(—30,卩+30)。第三步，作出推断。如果aG(卩・3。，U+3。)，接受统计假设：如果。纟(“一36"+3<7),由于这是小概率事件，就

6、拒绝统计假设。上面这种拒绝统计假设的推理，与我们过去学习过的反证法有类似之处。事实上，川反证法证明一个问题时，先否定待证命题的结论，这本身看成一个新的命题，从它出发进行推理，如果出现了才盾，就把这个才盾归因于前述新命题不正确，从而将它否定。否定了新命题，也就等于证明了原命题的结论。典例剖析：例1.设X〜且总体密度1111线的函数表达式为：]-2兀+1f(x)=—c4fxWRo2石(1)求u,o；(2)求P(lx-11

7、，将一般止态总体划归为标准」E态总体来解决。]X2-2x4-1[_(T)解：(1)由于f(x)=^=e厂「—i"J2)2,根据一般」E态分布的函2^17T』2兀,2数表达形式，可知u=l,b=迈,故X〜N(1,2)o(2)P(lx-ll