高考数学综合能力题30讲第12讲 复数的运算与几何意义

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1、数学高考综合能力题选讲12复数的运算与几何意义北京中国人民大学附中题型预测从近几年的高考试题看，复数部分考查的难度在下降，题量也在减少，考查的内容主要集中在三个方面：一、复数的运算．包括代数形式及三角形式的计算，复数模、辐角及其主值的计算．二、以复数运算和某些概念的几何意义为核心而形成的数形结合的题目．三、复数与方程的题目．估计今后几年高考试题仍将侧重于复数的概念、运算、复数与三角、复数与几何、复数与不等式等综合型试题．范例选讲例1若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数．讲解：当已知复数的模时，往往可以利用复数的三角形式解题．解1：设，，，则由可得：利用，可解得：，所以，．

2、当时，，；当时，，．若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，得到下面的解2．解2：由题可知都等于1，又由得：，所以，，所以，所对应的点的轨迹为圆与圆的交点．解之得：．以下同解1．略．用复数的代数形式去解本题也未尝不可．解3：设，其中，则由题可得：解这个6元方程组，需要较高的技巧，如果能够注意到（2）、（3）、（6）、（7）只与相关，则可将此四个方程联立，解得：，所以，．下略．点评：复数的代数形式、三角形式、模的性质是解决复数问题的3大支柱．例2设复数满足：，，它们在复平面内分别对应于不同的点A、点B，O为坐标原点，若，求使得△AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积．讲解：由于，

3、所以，首先应结合题目条件，考虑与的关系．首先，，所以，，解这个关于的方程，得：．所以，，，所以，．所以，．等号当且仅当，即时取得．此时，△AOB取得最大面积，为．点评：正确理解复数运算的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键．高考真题1．已知z＝1＋i,（Ⅰ）设ω＝z2＋3－4,求ω的三角形式;；（Ⅱ）如果＝1－i,求实数a,b的值.2．在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(O为原点),已知Z2对应复数z2＝1＋i,求点Z1和Z3所对应的复数．3．(1997年全国高考)已知复数z＝,复数,z2w3在复数平面上所对应的点分别为P,Q,证明△OPQ是等腰

4、直角三角形(其中O是原点).[答案与提示：1．（Ⅰ）；（Ⅱ）．　2．；．3．略．]