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1、§1数域[达标训练题]一填空题1．数集{0}对运算封闭.2．自然数集对运算封闭.3．数集对封闭.二判断题1.数域必含有无穷多个数.2.所有无理数构成的集合是数域.三证明1.证明是数域,这里不是完全平方数.2.证明不是数域.3.若是数域,证明也是数域,而不一定是数域. §1数域[达标训练题解答]一填空题1．加法、减法、乘法；2.加法、乘法；3.加法、减法、乘法.二判断题1.(T)；2.(F)三、解答题1．证明显然.对任意的,=+;.当时,.故对加法减法乘法除法封闭.即是数域.2．证明因为,.即对乘法不封闭.所以不是数域.3．证明
2、由于任意数域都包含有理数,故也包含有理数域,从而包含有理数域.令,则,.由于是数域,故,20;当时,,所以.即是数域.例如:取=,,容易验证不一定是数域;取=,,显然=是数域.§2一元多项式[达标训练题]A组一填空题1.系数在数域上的关于文字的一元多项式指的是形式表达式,其中次项是,次项系数是,常数项是.2.下列形式表达式(i)2;(ii);(iii)0;(iv);(v);(vi);其中是多项式.3.零多项式是,零次多项式是.4.设多项式,则的次项系数是.二判断题1.0是零次多项式.2.若,则.3.若都是数域上的多项式,则或者.三解答题1.设,试确定,使(i)零次多项
3、式;(ii)零多项式;(iii)一次多项式.2.若是实数域上的多项式,证明:若则.B组1.设是实数域上的多项式,证明:若则.2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式.3.次数定理中,式子20何时等号成立?何时小于号成立?§2一元多项式[达标训练题解答]A组一填空题1．，，，；2.（i），（iii）（v）；3.0，非零常数；4..二判断题1．(F)；2.(F).;3.(F).三解答题1．解因为.利用多项式相等的定义的:(i)(ii)(iii)即(i)当时,为零次多项式;(ii)当时为零多项式;(iii)时是一次多项式.2．证明设，，则的第次项系数为=0,当得,当时得,
4、进而,同样地,得到…….因此B组1．证明若(或)显然得是一个奇次多项式,这是不可能的.又若,则不全为零,因此也得是一个奇次多项式,这也是不可能的.所以2．解取，则.3．解当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立;其余情形小于号成立.§3整除的概念[达标训练题]20A组一填空题1.都是中的多项式,若,则称整除，称为的因式，为的倍式，记为.2.若或,那么除的商式是,余式是,这里.二判断题1.零多项式能够整除任意多项式.2.整除任意多项式能够被零次多项式整除.3.若,则.4.若,则满足该式的多项式有且只有一对.5.若,则.三解答题1．设，，除的
5、余式，求.2.如果,则.2．如果不整除与，则不整除与的乘积.1.证明是非负整数.2.证明①如果,,则;②如果,则不一定成立.B组一多项选择题1.是任意多项式,是非零常数,则下列结论成立的是.(A);(B);(C);(D);(E);(F);(G);(H).2.若在中,整除，为强调数域，我们记.设，下列结论正确的有.(A)若,则;(B)若,则;(C)若,则;(D)若,则.3.设,则整除于.①;②;③;④.20二证明题1.证明的充分必要条件是.2.证明.3.证明整除的充要条件是.4.证明,若,则同时整除.与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.5.对照多项式的整除
6、性理论，讨论整数的整除性理论.§3整除的概念[达标训练题解答]A组一填空题1．，，，，，，，，；2.，.二判断题1.(F)；2.(T)；3.(F);4.(F);5.(F)三解答题1．解利用带余除法得，所以，即.2．证明,利用整除性的性质，我们有，即.3．证明若,不整除与则存在常数,使,所以,由于,所以,得出矛盾.即不能整除证明由于三次单位根都是的根，即的根都是的根.从而.4.证明因为其中是三次单位虚根,而,即,再利用互素得到,即5．证明①如果,因为,由整除性性质得:,即,与矛盾,所以.B组20一多项选择题1．B,C,E,G,H；2.(A)(D);3.①②③④二、证明题
7、1．证明充分性显然,仅证必要性.设,则因为且，由整除性的性质得：.2．证明利用带余除法,所以.3．证明充分性显然,仅证必要性.设若,,而,因此,得出矛盾.所以,即.4．证明因为是的根,显然,即(),从而.一般地,我们有如下的结果:若,则.事实上,设,则,进一步有由于,则.5．参见张禾瑞先生的《高等代数》（第三版）（高等教育出版社）教材，或者初等数论教材.§4最大公因式[达标训练题]A组一、填空1．对于任意两个多项式它们总有公因式，我们称它为平凡公因式.2．两个零多项式的做大公因式是.203．零多项式与任意多项式的最大公因式是.4．若则的最大公因式是.
