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《《高等代数》多项式试题库.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1数域[达标训练题]一填空题1�数集{0}对运算封闭.2�自然数集N对运算封闭.3�数集{a�bia,b�Z}对封闭.二判断题1.数域必含有无穷多个数.2.所有无理数构成的集合是数域.三证明1.证明Q(n)�{a�bna,b�Q}是数域,这里n不是完全平方数.{a�b32a,b�Q}2.证明不是数域.3.若P1,P2是数域,证明P1�P2也是数域,而P1�P2不一定是数域.§1数域[达标训练题解答]一填空题1�加法、减法、乘法�2.加法、乘法�3.加法、减法、乘法.二判断题1.(T)�2.(F)三、解答题0,1�Qna�bn,a�bn�Q(n)1�证明显然
2、.对任意的1122,(a�bn)�(a�bn)(a�a)(b�b)n�Q(n)(a�bn)�(a�bn)1122=12+12;1122a�bn22�(aa�bbn)�(ab�ab)n�Q(n)a�bn�0a�bn12121221.当11时,11aa�bbnab�ba�1212�1212�n�Q(n)2222Q(n)�{a�bna,b�Q}a�bna�bn1111.故对加法减法乘法除法封闭.即Q(n)�{a�bna,b�Q}是数域.32�证明因为32{a�b2a,b�Q},�332�32�34�{a�b2a,b�Q}.{a�b32a,b�Q}{a�b32a,b
3、�Q}即对乘法不封闭.所以不是数域.3�证明由于任意数域都包含有理数,故P1,P2也包含有理数域,从而P1�P2包含有理数域.令a,b�P1�P2,则a,b�P1,a,b�P2.由于P1,P2是数域,故1aaa�P,�Pa�b,ab,�P�Pa�b,ab�Pa�b,ab�P12121,2;当b�0时,bb,所以b.即P�P12是数域.例如:PQ(2)�{a�b2a,b�Q}P�Q(3)�{a�b3a,b�Q}P�P取1=,2,容易验证12不PQP�Q(3)�{a�b3a,b�Q}P�P{a�b3a,b�Q}一定是数域;取1=,2,显然12=是数域.§2一元多
4、项式[达标训练题]A组一填空题1.系数在数域P上的关于文字x的一元多项式指的是形式表达式,其中i次项是,i次项系数是,常数项是.1232.下列形式表达式(i)2;(ii)x;(iii)0;(iv)1�ln(x�x�3x);1113n321�x�x���x��(v)ix�(1�i)x�1;(vi)2!3!n!;其中是多项式.3.零多项式是,零次多项式是.nmiif(x)��aix,g(x)��bixf(x)g(x)4.设多项式i�1i�1,则的k次项系数是.二判断题1.0是零次多项式.2.若f(x)g(x)�f(x)h(x),则g(x)�h(x).3.若f(x
5、),g(x),h(x)都是数域P上的多项式,则�(f(x)�g(x))��(f(x))或者�(f(x)�g(x))��(g(x)).三解答题221.设f(x)�a(x�2)�b(x�1)�c(x�x�2),试确定a,b,c,使f(x)(i)零次多项式;(ii)零多项式;(iii)一次多项式x�5.f(x),g(x)222.若是实数域上的多项式,证明:若f(x)�g(x)�0,则f(x)�g(x)�0.B组f(x),g(x),h(x)2221.设是实数域上的多项式,证明:若f(x)�xg(x)�xh(x),则2f(x)�g(x)�h(x)�0.2.求一组满足上
6、式的不全为零的复系数多项式.3.次数定理中,式子�(f(x)�g(x))�max{�(f(x)),�(g(x))}何时等号成立?何时小于号成立?§2一元多项式[达标训练题解答]A组一填空题nn�1ax�ax��ax�aiaa1�nn�110�aix�i�0�2.�i���iii��v��k�1�aibk�i3.0�非零常数�4.i�1.二判断题1�(F)�2.(F).;3.(F).三解答题1�解因为222f(x)�a(x�2)�b(x�1)�c(x�x�2)�(a�c)x�(2a�b�c)x�(4a�b�2c).利用多项式相等的定义的:�a�c�0�a�c�
7、0�a�c�0����2a�b�c�0�2a�b�c�0�2a�b�c�1���(i)�4a�b�2c�0(ii)�4a�b�2c�0(iii)�4a�b�2c��5即(i)当a��c,b�3c,c�0时,f(x)为零次多项式;(ii)当a�b�c�0时f(x)为零多项式;(iii)a�6,b��17,c��6时f(x)是一次多项式x�5.nm22f(x)�ax���ax�ag(x)�ax���bx�bf(x)�g(x)2�证明设n10�m10�则k�(aiak�i�bibk�i)a�b�022a�b�0的第k次项系数为i�0=0,当k�0得00,当k�1时
8、得11,进a�b�0a�b�0f(x)�g(x)�0
