电大微积分初步期末复习题

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1、1.定义域-----的定义域是的定义域的定义域2.函数解析式---先设t,解出x，代入原式整理成t的函数，最后再把t换成x函数，解函数，解3奇偶性---奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称奇函数：，，，偶函数：，，4.间断点---分母为零的点等函数的间断点是5．重要极限，无穷小量：极限为0（）若,求。解：。若求。解：。6.连续性----极限值=函数值，方法：将分界点分别代入两个表达式，值相等函数函数在x=0处连续，解：函数在处连续.解：7.极限分子分母同时分解因式，约分后，再代入.计算极限8.导数复合函数求导：先对最外层关系求导，同时乘以内层函数的导数。二

2、阶导数：求二次导,，,9.导数与微分微分可导(可微)必连续(极限值=函数值），连续不一定可导(可微),,,10.导数应用一阶导为0的点（）叫驻点。可导函数的极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。切线斜率=函数导数切线方程：曲线在点的斜率曲线在点处的切线方程，曲线在点处的切线方程是11.单调性一阶导大于零，单调增加（上升）。一阶导小于零，单调减少（下降）。函数在区间上先减后增，函数在区间是先减后增函数的单调增加区间是。解：12.导数积分互逆最后一步是积分得+C,最后一步是d微分结果dx,最后一步是求导没附加，，　=，，，13.原函数　f(x)叫F(x)的导数，F(x)

3、叫f(x)的一个原函数　若，则若是的一个原函数，求。14．凑微分公式+C＝==,15.分部积分与定积分==-==16积分性质与广义积分奇函数在对称区间的定积分为0,偶函数的等于单侧区间定积分的2倍广义积分，，极限存在为收敛，不存在为发散（收敛）（收敛）17.微分方程微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶.未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程。形如的微分方程称为可分离变量的微分方程.为3阶微分方程.为6阶是线性微分方程为可分离变量的微分方程.．.不是线性微分方程；；不是可分离变量的微分方程微分方程的通解为微分方程的通解

4、为微分方程的特解为18.应用题(1)欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为于是=3令得唯一驻点因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省.(2)用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有所以令，得，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时

5、水箱的面积最小.此时的费用为（元）(3)欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知令，解得是唯一驻点，且，说明是函数的极小值点，所以当，时用料最省。(4)某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r,高为h，则其表面积为由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用材料最省，此时。即当容器的底半径与高分别为和时，用料最省。(5)设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大

6、。解：设矩形的边长分别为（厘米），则有又旋转成的圆柱体的体积为求导得令得舍去）。，说明是极大值点，故当厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。