我的非概率集合理论凸方法及其应用_笔记

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1、在现存的绝大部分研究不确定结构的理论和方法中都是假定结构的不确定量是随机变量或者随机过程且满足某种概率分布假设。在这种情况下，可以保证或证明结构分析和设计的合理性。然而，关于结构的不确定变量概率密度和试验信息常常是缺乏的，一旦这些概率分布假定不满足，结构分析和设计的合理性就失去意义。实际结构的不确定变量是否满足某一种假定一般是很难验证的。其结果产生了下面的矛盾：一方面承认实际结构是非常复杂的，不一定都能用简单的系统模型做为其数学模型；另一方面，由于结构的不确定变量的分析模型的假定是人为的，于是乎所有的不确定模型都能够通过概率模型获得与真实系统任意接

2、近的模型。正是由于这种矛盾促使人们考虑用非概率模型来研究各种各样的不确定性。应该指出的是，试图获得充分的统计数据以便直接地模拟全部结构的不确定性是不现实的。概率统计方法是和由样本观察所得出的推断有关。各种结构的不无额定性只有依靠考察随机试验的样本数据才能数量化。而且，一方面，样本的大小收到十几情况和经济上考虑的限制；另一方面，由于背景噪声的存在，不确定变量的各种统计值必然存在某些误差或不确定性。这些局限性，在很大程度上阻碍了概率论和数理统计方法的工程应用，而以“不准确的”概率分析所得到的结论有事又会导致“灾难性”的后果。如何来解决这累问题呢？近几年

3、来，人们开始借助于非概率集合理论(non-probabilisticset-theory)方法，如凸模型(convexmodels)，区间分析(intervalanalysis)等。在这类理论中，是用一集合对不确定变量进行定量化（在凸模型中是用凸集合，在区间分析中使用超长方体），然后通过优化方法（在凸模型中是用条件极值的优化方法等，在区间分析中是用区间的四则运算和区间扩张等）确定系统响应所在的集合界限。在系统响应所在的集合界限里，不仅可以知道系统响应的近似值，而且还能知道近似值的误差界限。非概率集合理论是继概率论、模糊集合之后的有一个处理不确定性的

4、数学工具。作为一种较新的理论分析和计算方法，非概率集合理论今年来越来越受到重视，其有效性已在许多科学与工程领域的成功应用中得到证实，是当前国际上人工智能理论及其应用领域中的研究热点之一。对不确定问题的非概率集合理论的处理，是首先在控制论中开始的。Schweppe在系统的状态估计中建立了凸模型的理论框架，Bialas则提出了用端点矩阵的稳定性判断区间矩阵的稳定性的充分必要条件。Ben-Haim和Elishakoff将凸模型理论引进结构的分析中，成功地解决了一些理论的可靠性问题，1995年，Ben-Haim又用凸模型理论研究结构的可靠性问题，创造性地体

5、处理结构鲁棒可靠性理论。近年来，中外学者在非概率集合理论中又开辟了新的研究方向。如Koylupglu等人尝试将去区间分析引入具有不确定性的有限元分析中。区间分析也叫区间数学，是20世纪60年代产生的计算数学分支，最初是为了解决误差和非线性问题，近几年学术界发现它还可以用来解决不确定问题。非线性问题的区间迭代法，具有全局收敛性，可综合考虑初值所具有的误差和不确定性，可以计算出非线性问题的全部解，对解的存在性具有计算检验等优点。凸模型理论是为解决力学中不确定问题而产生的，它可以求出具有不确定性问题的最大或最有利响应和最小或最差响应，以及响应所在范围的集

6、合估计。凸模型理论具有计算简单、适应性好等优点。这些算法具有鲁棒性好、运算简单和适用面广等优点。美国UniversityofVirginia的AhmedK.Noore教授在其计算结构力学方面的综述性论文中，已将集合理论凸方法定为计算结构技术在20世纪最新进展之一。非概率集合理论的主要优点如下。第一，与概率理论不同，不需要知道不确定变量的概率分布密度，只需要知道不确定变量所在的范围。不确定变量的分布范围要比不确定变量的概率分布密度更容易确定。有时候，不知道不确定变量的分布范围仍可用非概率集合理论对结构进行灵敏度或鲁棒性分析和设计。第二，非概率集合理论

7、可以给出结构响应所在是范围或鲁棒裕度。结构响应所在的范围要比概率分布密度更容易确定，更容易理解。这样，非概率集合理论可以被看成是对概率性可靠性理论的一种补充、一种深化，开辟了研究结构系统可靠性的新途径。非概率集合理论的发展与完善将对结构的不确定问题和非线性问题的可靠性分析和设计产生重大的影响。实际工程结构系统中总是不同程度地存在着各种各样的误差和不确定性。如物理误差和不确定性，统计的误差和不确定性以及数学模型的误差和不确定性。这些误差和不确定性都影响了工程结构系统分析和设计达到预期的目标和效果。实际上，在对复杂工程结构系统进行分析和设计是，必须对这

8、个复杂的工程结构系统建立可供分析和设计的数学模型，这就要对复杂工程结构系统进行简化和理想化，而简化或理想化后的数学模型与实