《凸优化理论笔记》pdf版

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1、Chapter2ConvexSetn对于xxzR12连接两点的直线可表示为^x

2、xTTx(1)x,TR`12连接两点的线段可表示为^x

3、xTTx(1)x,T[0,1]`12仿射集（AffineSet）定义：C是仿射集↔xxC,，则连接两点的直线也在C内12<<一条直线是仿射集，一条线段则不是平面是仿射集，一块矩形区域则不是例：线性方程组的解集是仿射集mnun证：线性方程组的解集可表示为Cx{,,

4、Ax=bARRb}设xxC,，则Ax=b，Ax=b1211ATTTTTTxx12(1)Ax1+A(1)x2bb(1)b，得证仿射组合（AffineCombinati

5、on）T,,,TT"R12k设k个点xx,,,"x，12kTT"T112k则称TxxTT"x为xx,,,"x的仿射组合1122kk12k仿射包（AffineHull）n任意集合CR，C中任意元素的仿射组合构成的集合称仿射包xx,,,"xC½12k°°affCxx""®¾TTTTx,TT,,R1122kk12k°°TT"T1¯¿12k如果一个集合的仿射包就是它自己，那么它就是一个仿射集凸集（ConvexSet）定义：C是仿射集↔xxC,，则连接两点的线段也在C内12<<一条直线是凸集，一条线段也是凸集平面是凸集，一块矩形区域也是凸集凸组合（Conv

6、exCombination）T,,,TT"[0,1]12k设k个点xx,,,"x，12kTT"T112k则称TxxTT"x为xx,,,"x的凸组合1122kk12k凸包（ConvexHull）n任意集合CR，C中任意元素的凸组合构成的集合称凸包xx,,,"xC½12k°°convCxx""®¾TTTTx,TT,,[0,1]1122kk12k°°TT"T1¯¿12k一个凸集，它的凸包就是它本身凸集非凸集非凸集凸集的凸包（本身）非凸集的凸包凸锥（ConvexCone）定义：C是仿射集↔xxC,，对tT,0T，有TxxCT12121122过原点的射

7、线是凸锥过原点的两条射线之间的区域是凸锥凸锥组合（ConvexConeCombination）设k个点xx,,,"x，T,,,TT"t012k12k则称TxxTT"x为xx,,,"x的凸锥组合1122kk12k凸锥包（ConvexConeHull）n任意集合CR，C中任意元素的凸锥组合构成的集合称凸锥包°°xx,,,"xC½12k®¾TTxx"Tx1122kk°°tTT,,,"T0¯¿12k一个凸锥集，它的凸锥包就是它本身集合名称凸集仿射集凸锥1.空集√√2.1个点√√Tx(1T)xxn3.R空间√√√n4.R空间的子空间：{}x

8、Ax=0√√√5.任一直线

9、√√×6.任一线段√××7.任一射线：^xvtTT

10、0`√××0Tn8.超平面：{,x

11、ax=bbxR,R}√√×Tn{,x

12、axtbbxR,R}9.半空间：§·x1√××(,)aa¨¸bTn12{,x

13、axdbbxR,R}©¹x210.欧几里得空间中的球：n√Bx(,)ccrrd^xxx

14、

15、

16、

17、,2xcR,rR`11.欧几里得空间中的椭球：Tn1√Ex(,,)ccrrP^xxxPxx()(dc),xcR,rR,P正定`12.多面体（Polyhedron）：½Td°°axbii,1im,,"√Px®¾（很多超平面和半空间的交集）T°°cx=d,1j,,"n¯¿jjnn

18、unT13.对称矩阵：S^AAR

19、=A`√√√nnunT14.对称半正定矩阵：SA^R0

20、,A=AA;`√×√nnunT15.对称正定矩阵：SA^R0

21、,A=AA;`√××

22、

23、xx

24、

25、dr12c10）证明：设xxB,，则12

26、

27、xxd

28、

29、r22c

30、

31、TTxx12(1)xxxcc

32、

33、

34、

35、2TTTT12(1)xx(1)c

36、

37、2

38、

39、TTxx12cc(1)xx

40、

41、2dTT

42、

43、xx12cc

44、

45、(1)

46、

47、xx22

48、

49、dTTrr(1)r13）对称阵是仿射集，因而是凸集nTT证明：设A,AS，则AA，AA121122T对TR，TTTTA(1)

50、AAA(1)，得证121214）对称半正定阵是凸锥，因而是凸集nTTTT证明：设A,AS，则AA，AA，且对x，有xAxt0，xAxt012112212TTT对称已证明，现证明半正定，对x和tT,0T，xAAx()TT=xTAxxtTAx0，得证121122112214）对称正定阵是凸集nTTTT证明：设A,AS，则AA，AA，且对xz0，有xAx>0，xAx>012112212TTT对称已证明，现证明正定，对zx0和T[0,1]，xATTT(1)Ax=xAx