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1、13变限积分函数在数分中的应用1引言变限积分函数是产生新函数的重要工具.变限积分函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用.我们在学习变限积分函数时感到非常困难，分析其原因在于变限积分函数概念不仅抽象，而且计算方法不易掌握.因此，准确地掌握变限积分函数的计算，求导及其应用，对进一步学习数学分析的其他相关内容十分必要.本文通过对变限积分函数的概念，性质，计算，求导，求极限等方面的研究来开阔我们解题思路，以进一步提高分析问题和解决问题的能力.2变限积分函数的概念及性质2.1变限积分
2、的基本概念设函数定义在闭区间上,并且,设为上的一点，现在考察如下函数：如果积分上限在闭区间上的值可以任意变动，那么对于每一个取定了的值，定积分都有一个值与其对应，所以它在闭区间上就定义了一个函数，这个函数就是变限积分函数.（注1：该函数的变量是，为积分变量，应注意区分两者.）（注2：变上限积分函数与变下限积分函数统称为变限积分函数.上式为变上限积分函数的表达式，当与互换位置后即为变下限积分函数的表达式，所以讨论其中之一即可，另外一种可相应推导.）（注3：从几何方面看，这个变上限积分函数表示闭区间上
3、的曲边梯形的面积.变限积分函数与其它我们之前所接触过的所有函数形式都有着比较大的区别.首先来说，它是通过定积分来定义函数的；其次，这种函数的自变量出现在其积分上限或者积分下限.）2.2变限积分的基本性质变限积分函数在一般情况下都是可导的函数,它的出现拓宽了函数的范围.由于变限积分和积分的密切的关系使得它与其它函数相比有着其独特的作用.它是证明微分学基本定理—原函数存在定理的主要工具,也是联结众多知识点的纽带,是学生学习中的重难点,又是许多考试中的热点.可以通过研究变限积分函数的性质来探讨有关变限函
4、数的极限、导数、连续性、导数推广、原函数存在定理等方面的问题.2.2.1连续性若函数在闭区间上可积，则变上（下）限积分函数在上连续.132.2.2导数对于含有变限积分的问题,一般可以采用牛顿——莱布尼兹公式来先求出具体函数,再寻找求解的途径。但这一步往往是比较困难的.根据上述定理可以得知，在解决含有变限积分的问题时,可以先从对其求导入手,使问题简化.设函数在闭区间上是连续的,为闭区间上的任意一点,则在上是连续的,因而定积分是存在的.这个定积分对于每一个,都存在一个确定的积分值与之相对应,因此,它是
5、一个定义在闭区间上的函数,称之为变上限积分函数.对于变上限积分函数有如下定理:如果在闭区间上是连续的,则函数在闭区间上是可导的,且可得：.如果函数在闭区间上连续，则变上限积分函数在上具有导数，并且其导数为.证明过程如下：对上任意一个确定的，当且时，按定义和积分第一中值定理，有：,.由于在点连续，所以有：由在闭区间上的任意性，可以证明出是在上的一个原函数.2.2.3导数推广13如果函数在闭区间上是连续的，点为内任一点，则变限积分函数满足：（1）可以取值，可以取值；（2）该定理是变限积分函数最重要的性
6、质，掌握该定理需要尤其注意以下两点：第一，下限为常数，上限为参变量（不是含有的其他表达式）；第二，被积函数中只含有积分变量，而不含参变量.2.2.4原函数存在定理若函数在闭区间上是连续的，则变上（下）限积分函数就是在闭区间上的一个原函数.3变限积分函数的应用(具体例题)可以通过研究变限积分函数的性质来探讨有关变限函数的极限、导数、单调性、有界性、奇偶性、凹凸性、最值、零点定理等问题.3.1变限积分函数的计算变限积分函数的计算方式类似于定积分的计算,可以利用微积分的基本公式来计算，但是如果被积函数为
7、分段函数时，需要特别的注意积分限的取值范围所对应的函数表达式，在具体计算时应该根据自变量的变化范围分别进行计算.例1设平面上有一个正方形及直线：，若表示正方形的位于直线左下方部分的面积，试求.解由题设条件可以得到：所以，当时，;13当时，;当时,.综上，得：3.2变限积分函数的导数求解关于变上(下)限积分求导的问题时可以利用公式来求变上(下)限积分的导数.如果被积函数中含有变量,首先应该设法把被积函数中仅含参变量的因式提到积分号外面去,如果被积函数的中间变量是含的函数,而且该函数又不能被提出积分号
8、外,这时常先作变量代换把换到积分的上(下)限去.如果被积函数是隐函数，或者参数方程所表示的函数中含有变上（下）限积分时也同样处理.求变限积分函数的导数时，主要依据以下结论：设，则有：，其中,在某个区间上是可导的,且.13例2设求,在处的值解因为,有误，应为dx/dt?,有误，应为dy/dt?则,,故得，.由此可见,为正确求出变限积分的导数,首先必须区分清楚两个变量,的不同作用,对于积分而言,是积分变量,而是与积分无关的参变量.对于函数来说,它与积分变量无关，而只是变量的函数.在带有
