变限积分函数及牛莱公式.ppt

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1、§7.3定积分计算基本公式一、积分上限函数及其导数二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式9/17/20211一个函数的不定积分是他的原函数的全体，如而一个函数在一个区间上的定积分则是曲边梯形的面积，是一个数值，如引论：不定积分与定积分的联系9/17/202129/17/20213若已知则Largrange中值定理：9/17/20214当时，或者说当每一个时，上面的化为9/17/20215于是我们就得到了这就是著名的牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式即9/17/20216IsaacNewt

2、on，1671年写了《流数法和无穷级数》，与GottfriendWilhelmLeibniz同时独立创建微积分9/17/20217考察定积分一、积分上限函数及其导数9/17/20218积分上限函数的性质证9/17/20219由积分中值定理得9/17/202110例1.例2.例3.9/17/202111变限积分求导公式9/17/202112解：令则例4.9/17/202113证一般地9/17/202114例5.例6.设在区间上连续，且则在上恒等于零。证明：令则9/17/202115因此在上是单调非减的，从而有于是在上恒为常数

3、，其导数必为零，即9/17/202116定理3（微积分基本公式）证二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式9/17/202117令令9/17/202118核心思想：如果能够找到被积函数的一个原函数，则可以轻易地求出定积分的值，即原函数在积分区间上的增量。注意9/17/202119例7.例8.例9.9/17/202120例10计算其中解例11.设,求在[0,2]上的表达式,并讨论在(0,2)内的连续性.解.当时,当时,综上,在x=1处,在(0,2)内连续.所以,2x019/17/202121问题：在是否可导？

4、9/17/202122例12.设且求解：方程两边积分，得9/17/202123例13.下列做法是否有问题由于被积函数在积分区间上存在第二类间断点，不满足Newton—Leibniz定理之条件，故不可用这一公式。强调：在利用Newton—Leibniz定理的时候，验证定理条件是否满足是必要的！9/17/202124小结1.积分上限函数的性质，其导数的计算；2.牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式的证明及应用9/17/202125