3章 中值定理与导数的应用

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1、高等数学教案§3中值定理与导数的应用第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理

2、、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。高等数学教案§3中值定理与导数的应用§3.1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意xÎU(x0),有f(x)£f(x0)(或f(x)³f(x0)),那么f¢(x0)=0.证明：（略）通常称导数等于零的点

3、位函数的驻点（或稳定点，临界点）.ABCDOyxab设曲线弧是函数的图形，如图3-1，这是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即.可以发现在曲线弧的最高点处或最低点处，曲线有水平的切线，如果记点的横坐标为，那么就有。现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就可得下面的罗尔定理。图3-1罗尔定理如果函数y=f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续,；（2）在开区间(a,b)内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点x,

4、使得f¢(x)=0.证明:(1)如果f(x)是常函数,则f¢(x)º0,定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点xÎ(a,b).于是,,所以f¢(x)=0.注：①Rolle定理的几何意义：在满足条件时，曲线上的点处一定有水平切线，即斜率；②Rolle定理的条件是充分的而不是必要的；③Rolle定理研究的是导函数方程的根的存在性问题。高等数学教案§3中值定理与导数的应用例1证明，方程在区间内有唯一的实根。证：①存在性：设，则

5、在闭区间上连续，且，，端点函数值异号，根据闭区间上连续函数的性质，存在，使得。表明方程在内有根；②唯一性（反证法）假设方程在内至少有两个实根，，即，，不妨设，则，在闭区间上连续，在开区间内可导，端点函数值相等，根据洛尔定理，应存在，使得。但使得的点只有两个：，均不在区间内。此矛盾表明，假设不成立，从而唯一性得证。罗尔定理中这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制，如果把这个条件取消，仍保留其余两个条件，并相应的改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。二、拉格朗日中值定理拉格朗日中

6、值定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续,；（2）在开区间(a,b)内可导；那么在(a,b)内至少有一点x(a

7、C点处的切线平行于弦AB。从图3-1看出，在罗尔定理中，由于，弦AB是平行于轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB，由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。定理的证明:引进辅函数令j(x)=f(x)-f(a)-(x-a).容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件:j(a)=j(b)=0,j(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导,且j¢(x)=f¢(x)-.根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点x,使j¢(x)=0,即f¢(x)-=0.由此得=f¢(x),即f(b)-f

8、(a)=f¢(x)(b-a).定理证毕.f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b0或Dx<0),则在[x,x+Dx](Dx>0)或[x+Dx,x](Dx<0)应用拉格朗日中值公式,得f(x+Dx)-f(x)=f¢(x+qDx)Dx(0