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1、最佳平方逼近多项式正规矩阵病态的改进数学与计算机科学学院信息与计算科学专业【摘要】最佳平方逼近多项式正规方程组的系数矩阵经常是病态矩阵,改善病态矩阵的常见方法:平衡法,中心法和压缩法以及共轭斜量法,本文对这三种方法的原理及应用做了初步的探讨,使得对最佳平方逼近的正规矩阵性态的改进有了更深入的理解..【关键词】逼近多项式,病态矩阵,平衡法,中心法和压缩变化,共轭斜量1．引言在现实解决问题中，我们遇到的函数往往各式各样，有些计算复杂，在计算机中不能被直接处理，这时我们希望找一个简单易算的函数y(x)来逼近原函数f(x)，并使y(x)与f(x)之差在某种度量意义下为最小,逼近
2、误差的度量标准之一为：在这种度量意义下的函数逼近称为均方逼近或平方逼近.当为最小值时为最佳平方逼近。最佳平方逼近在现实中的应用广泛：比如在电力系统中最佳平方逼近算法,不仅能准确、快速地计算出测量信号中的周期分量，计算精度受非周期分量影响小；用最佳逼近逼近来判断在岩士力学中的概率密度等。在最佳平方逼近中，多项式占着重要的位置，因为多项式计算特别简单，计算机能够直接处理，而且多项式有能够一致逼近连续函数的理论结果。我们知道对于求最佳平方逼近多项式中遇到正规方程组的系数矩阵经常是病态,有两种方式加以解决:一是利用正交多项式使得正规方程组的系数矩阵是一个对角矩阵,从而避开了正规
3、矩阵的病态现象，二是对于正规方程组中的系数病态矩阵进行改善。在文献[1]，文献[3]和文献[4]提出了直接求多项式会在高次求法中出现正规方程组病态导致结果不精确,纷纷采用了前者的方法,而笔者认为后者的方法也是正规矩阵病态改进的有效方法,值得研究和探讨。2.最佳平方逼近多项式的正规矩阵及其性态我们研究在区间[a,b]上的最佳平方逼近问题，对于函数f(x)∈[a,b],设为[a,b]上的权函数，若有一不超过n的多项式=,使得（2.1）称满足（2.1）式的为在区间[a,b]上的n次最佳平方逼近多项式。该多项式的求解问题等价于求多元函数I()=12的最小值，由多元函数求极值的必
4、要条件，得＝2，j=0,1,…,n即，j=0,1,…,n(2.2)(2.2)式是关于的线性方程组，用矩阵表示为A==（2.3）（2.2）或（2.3）式称为正规方程或法方程组。正规方程组的解是存在且唯一的，从（2.2）式中解出(k=0,1,2,…n),从而可得最佳平方多项式。其中(2.3)的系数矩阵G=且，[例1]求在区间[0，1]上的二次最佳平方逼近多项式。解：因为[a,b]=[0,1],=1,又解可得正规方程组12＝解得＝1.013，＝0.851，＝0.839，所以从例子中出现的系数矩阵实际是一个著名的病态矩阵Hilbert矩阵,[a,b]=[0,1],=1,,,则方
5、程组（2.3）系数矩阵为G为(2.4)当n取不同的值时系数矩阵的谱条件数如下表,可见n大时,是严重的病态。表2-1n3568105.05.01.51.51.63．最佳平方逼近多项式求解中病态正规矩阵的分析和改进对于正规方程组中的病态矩阵的问题,我们可以采用正交多项式的方法,避开正规方程组的病态矩阵状况,我们还可以针对病态方程组进行分析和改善,使得方程组是良态的。一个方程组是否病态,由G的性质决定,与用什么数值解法没有关系,对于病态方程组,数值求解要非常小心进行,否则可能得不到所要求的精度的解。而影响病态矩阵的谱条件数的因素诸如病态矩阵的行列依赖,对节点对中心的偏移,以及
6、节点的坐标取值等,针对这些因素进行改进,就会使得方程组的病态大大改善。我们讨论方程组是否是病态一般都是以条件数cond(G)来刻画。实践表明,cond(G)越大,方程组的病态越严重。定义1G,设detG0,对任何一种从属的矩阵范数,Cond(G)=(3.1)12称为矩阵G的条件数。引理1G是正规方程组的系数阵，有cond(G)=,其中是最大特征值．是的最小特征值。改善病态方程组的性态的方法有:3.1平衡法平衡法分为行平衡法与列平衡法,原理一样,下面以行平衡法为例说明。先对原方程组做预处理,降低系数矩阵的条件数，即是选择非奇异矩阵P,Q,使得方程组化为等价方程组.并且使得
7、矩阵PAQ的条件数比A有所改善,P和Q可选择为三角矩阵或对角矩阵。例如：设,计算,再令预处理方法中P=D,Q=I,方程组的的等价方程组为(DA)X=Db,如果A各行元素的数量级相差较大,DA的每行行向量的-范数将会大致相同,其条件数会比A的条件数有所改善.例2可以证明病态矩阵利用平衡法改善后的结果。[例2]方程组,求,。解：根据已知条件可算出原条件数cond(A)，原方程用列主元消去法解得的解为平衡法的过程:引入D=diag(,1,)，由DA=Db即DA=并可求得平衡后的条件数cond(DA)4,较之原方程,现条件数有了很大的改进。用平衡
