高等代数期末复习习题集

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1、高等代数期末复习习题集1.证明下述多项式在Q[x]中不可约：①3x5－8x3+6x2+2x－10，②x6+x3+1，③x4－x3+2x+1，④xp－px+1，其中p是奇素数．2.设f(x)ÎZ[x]，a1，a2，a3，a4是互不相同的整数．如果f(a1)=f(a2)=f(a3)=f(a4)=1，证明：对任何整数n，f(n)－1都不是素数．3.设f(x)=(x－a1)(x－a2)…(x－an)－1，其中a1，a2，…，an是互不相同的整数．证明：f(x)在Q[x]中不可约．4.求下列多项式的所有的有理根．①x3－6x2+15x－14，②3x4+5x3+x2+5x－

2、2．5.证明：是无理数，其中是两两互异的素数.6.设是一个整系数多项式，证明：若都是奇数，则不能有整数根.7.设为整系数多项式，若均为奇数，且与中至少有一个为奇数，则没有有理根. 8.      设F是数域，，.求（,），并求使.9.设F为5元域，，.求（,），并求使.10.证明：如果，且则是与的一个最大公因式.11.证明：1），其中h的首项系数为1；2)；3)若，则；4)若，则N；5)若，则，其中等均为F[x]的多项式.12．设fi(x)ÎF[x]，i=1，2，…，n，证明：(f1，f2，…，fn)=((f1，f2，…，fn-1)，fn)，且存在ui(x)ÎF

3、[x]，i=1，2，…，n，使(f1，f2，…，fn)=u1f1+u2f2+¼+unfn.  13.求下述多项式的标准分解式（系数域分别为有理数域、实数域或复数域）：（1）（2）414证明：.15.设是F[x]中次数大于零的多项式.若对任意，F[x]，只要就有或，则为不可约.16.求出3元域Z3上的一切二次不可约多项式.17.设数域F上的不可约多项式是的重因式，证明：（1）不一定是的因式；（2）若，则是的重因式.18.判断数域上的多项式有无重因式.若有，试求出它的重数. 19.用综合除法的计算:（1）；（2）.20.判断5是不是多项式的根，如果是的话，是几重根？

4、21.将表成的方幂和：（1）（2）.22.证明：是的重根，而23.证明：不能有不为零的重数大于2的根.24.证明：sinx不能表为一个多项式.  25.设f(x)ÎR[x]，并且deg(f(x))为奇数．证明：f(x)必定有实根．26.设f(x)，g(x)ÎF[x]，如果在C[x]中，f(x)，g(x)没有公共的复的根，证明：在F[x]中f(x)与g(x)互素．27.设cÎF，c不为零，设f(x)ÎF[x]，并且deg(f(x))≥1．如果b是f(x)的一个根，则bc也是f(x)的根，证明：存在自然数k，使得ck=1．28*.设f(x)ÎQ[x]，a，b∈Q，并

5、且b不是一个有理数的平方．证明：如果在R[x]中，a+是f(x)的一个实根，则a－也是f(x)的一个实根．29.（韦达定理）设f(x)=anxn+an－1xn-1+…+a2x2+a1x+a0，f(x)ÎF[x]，其中an≠0，如果f(x)在F中有n个根（重根按重数计算），它们是：b1，b2，…，bn．证明：=(－1)sbb…b． 30.证明下述多项式在Q[x]中不可约：①3x5－8x3+6x2+2x－10，②x6+x3+1，③x4－x3+2x+1，④xp－px+1，其中p是奇素数．31.设f(x)ÎZ[x]，a1，a2，a3，a4是互不相同的整数．如果f(a1)

6、=f(a2)=f(a3)=f(a4)=1，4证明：对任何整数n，f(n)－1都不是素数．32.设f(x)=(x－a1)(x－a2)…(x－an)－1，其中a1，a2，…，an是互不相同的整数．证明：f(x)在Q[x]中不可约．33.求下列多项式的所有的有理根．①x3－6x2+15x－14，②3x4+5x3+x2+5x－2．34.证明：是无理数，其中是两两互异的素数.35.设是一个整系数多项式，证明：若都是奇数，则不能有整数根.36.设为整系数多项式，若均为奇数，且与中至少有一个为奇数，则没有有理根.  37.设λ矩阵A(λ)=diag(d1(λ)，d2(λ)，d

7、3(λ)，d4(λ)，d5(λ))．如果dj(λ)

8、dj+1(λ)，j=1，2，3，4，求A(λ)的3阶行列式因子．38.设λ矩阵λ－1λ－2λ2+λ－4A(λ)=λ2+3λ－43λ－24λ2+3λ－5λ2+2λ－32λ－13λ2+2λ－3 将A(λ)写成A2λ2+A1λ+A0的形式，其中A0，A1，A2都是数字矩阵．将(A(λ))2也写成上述形式．39.求Jordan块J(0,n)的平方的特征多项式的各阶行列式因子． 40.求A的特征多项式的不变因子组，①A=，②A=． 41.求A(λ)的标准形①－200A(λ)=λ2+7λ－1λ+1λ－13λ2－3λ－1λ+

9、1，②－2λ3+2λ2－