常用连续型分布性质汇总及其关系

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1、常用连续型分布性质汇总及其关系1.常用分布1．1正态分布（1）若的密度函数和分布函数分别为则称服从正态分布，记作，其中参数（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。（3）关于参数：是正态分布的的数学期望，即，称为正态分布的位置参数。为正态分布的对称中心，在的左侧和下的面积为0.5；在的右侧和下的面积也是0.5，所以也是正态

2、分布的中位数。是正态分布的方差，即是正态分布的标准差，愈小，正态分布愈集中，愈大，正态分布愈分散。又称为是正态分布的的尺度参数。（4）称时的正态分布为标准正态分布。记为标准正态分布变量，和为标准正态分布的密度函数和分布函数。和满足：（5）标准化变换：若则（6）若则对任意实数与，有（7）特征函数（标准正态分布）1.2.均匀分布（1）若的密度函数和分布函数分别为则称服从区间上的均匀分布，记作（2）背景：向区间随机投点，落点坐标一定服从均匀分布（3）（4）特征函数1.3.指数分布（1）若的密度函数和分布函

3、数分别为则称服从指数分布，记作其中参数（2）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失败，则首次冲击到来的时间（寿命）服从指数分布，很多产品的寿命可认为服从或者近似服从指数分布。（3）（4）指数分布的无记忆性：若则对任意有（5）特征函数1.4伽玛分布（1）伽玛函数称为伽玛函数，其中参数伽玛分布具有如下性质：（a）(b)(c)(d)(为自然数)。（2）伽玛分布若的密度函数为则称服从伽玛分布，记作其中为形状参数，为尺度参数。（3）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一

4、些外来冲击，但遇到第次冲击时即告失败，则第次冲击来到的时间（寿命）服从形状参数为的伽玛分布（4）（5）特征函数1.5贝塔分布（1）贝塔函数称为贝塔函数，其中参数贝塔函数具有如下性质：（a）(b)(2)贝塔分布若的密度函数为则称服从贝塔分布，记作其中都是形状参数。（3）背景很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率等都是在区间上取值的随机变量，贝塔分布可供描述这些随机变量之用。（4）（5）特征函数1.6分布（1）若的密度函数为则称服从分布，记作其中都是形状参数。（2）（

5、3）若则2.分布之间的关系2.1由标准正态分布构造-分布设和是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，(1)服从自由度为的卡方分布，记为。其分布密度为(2)期望方差分别为（3）特征函数为2.2由标准正态分布和卡方分布构造分布(1)服从自由度为的分布,记为其分布密度为（2）期望方差分别（3）特征函数2.3由两个卡方分布构造分布（1）服从第一自由度为，第二自由度为的分布,记为其分布密度为（2）期望方差分别（3）特征函数为（4）若则（5）若则2.4伽玛分布，贝塔分布及其特例（1）时的伽玛分布就是指数分布，即

6、（2）时的伽玛分布为自由度为的分布，即（3）时的贝塔分布就是区间上的均匀分布，即（4）独立同分布于，为其顺序统计量，则有特别地，特别地（5）若随机变量则当时，有特别地，即任一伽玛分布可转化为分布。（6）若，则（7）若且与相互独立，则（8）分布与贝塔分布，分布的关系若则若则若则