2014电大专科《高等代数专题研究》形成性考核册作业答案小抄

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1、电大《高等代数专题研究》作业参考答案高等代数专题研究作业1一、单项选择题:1-5:BCBDB二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、,且是A到B的双射。4、具有下面性质的自然数的任何集合M满足:如果,则。则M含有一切自然数,即。5、对于一个与自然数有关的命题T,若i:若n=1时命题T正确;ii:假设命题T对n

2、、证明题1、证明:2、证明:则于是由a与b惟一确定的(即不会得出以上不同的结果),且为实数,所以“”是一个代数运算。,,所以,即“”满足结合律。3、证明:当n=2时,,因此命题对n=2正确。当n=4时,,因此命题对n=4正确。同理可推出命题对,都正确(s为任意自然数),所以命题对无穷多个自然数成立。设命题对n=k正确,令,则,由归纳假设命题对n=k正确,所以,所发,即,命题对n=k-1也正确,由反归纳法原理知,命题对一切自然数成立。4、当n=2时,上述不等式成立,假设,则于是对一切的自然数n来说,。五

3、、简述题1、答:,给予证明如下:任取,且,则是单射。任取,若为奇数,则有,使与之对应;若为偶数,则有,使与之对应,所以有是满射。所以是从Z到N的双射。2、答:空集合的幂集不是空集合。应为。高等代数专题研究作业2一、单项选择题:1-5:DACCB二、填空题:1、2、3、4、5、三、计算题1、解:所以原不等式的解集为。2、解:,即。其中当且仅当,且成立,解得,所以当时,取极大值,。3、解:这是一个求具有约束条件的极值问题,由于它有三个变量,因而不能用消元法来解,但,只有当时等式成立。所以只有当时,取最小值

4、。四、证明题1、证明:,因都是正数,上式变为,得证。2、证明:令,再令,得的一元二次方程:,由于,所以,所以,即。3、证明:因为是等差数列,则,则均值不等式,得,又:,,,,所以,所以,故结论得证。五、简述题1、答:设函数在某区间上定义,对于区间上的任意两点,都有,其中,则称在该区间上是下凸函数。2、答:比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法。高等代数专题研究作业3一、单项选择题:1-5:BDDAC二、填空题1、1,3,5,72、如果d是a与b的公因式,且有,均有。3、代数4、15

5、、-4,2(重根)三、计算题1、证:1)若,则,且,故是有单位元素1的数环,因而是整环。2)为中全部可逆元素。为奇素)为中全部不可约元素。2、解:是的可逆元素。,是的可逆元素。因此,是的全部可逆元素。四、证明题1、证明:首先是整环,零理想是主理想,设是的任一非零理想,是中次数最低的多项式,则对任意有,使,其中或的次数<的次数,由知,若则的次数<的次数,这与是中次数最低的多项式矛盾,故必有,从而,这就证明了是由生成的主理想。2、证:若之中有零或单位,易见结论成立。不妨设都既非零也非单位,因为,所以有,将

6、都分解为不可约元素的乘积,若非单位也将其分解:,则,由因式分解的惟一性,每个都与等式左边的一个因子相伴,因为,所以不与任何一个相伴,适当调整因子的次序,不妨设分别与相伴,于是可知。3、证:由可知,,因是本原多项式,所以,由上第2题结论知:。4、证:设,若从代数观点出发,则它们相应系数有以下关系:,显然它们在任意点的函数值也相同,即从函数论观点出发。反之,若从函数论观点出发,则,这时域中所有元素都是的根。但是是一个次数不超过的多项式,在中至多有个根,而前述有无限多个根,这个矛盾证明必有,即从代数观点有。

7、五、简述题1、答:定义:设是一个整环,如果中每一个不等于的非单位元素均可写成:,其中是不可约元素,并且如果还有,其中也是不可约元素,则必有,且适当调整的顺序后,有,则称是因式分解惟一环。2、答:定理:任何实系数次多项式至少有一个复数根。高等代数专题研究作业4一、单项选择题:1-5:BDCAA二、填空题1、2、3、4、,5、三、计算题1、解:把辆小轿车视为一辆,与辆大卡车排队有种方法,而小轿车又有种停放方法,所以一共有种停放方法。2、解:用相同元素的重复排列公式:,不同的摆法有:种。3、解:展开合并同类

8、项后共有:展开后每一项都是5次多项式,它的不同项实际上是从6个元素中取5个元素的方法数项,而的系数为:从3元素中取2个a,2个b,1个c,即为,所以的系数为30。4、解:设表示能被整除而不大于2000的自然数集合,这时,,根据定理:5、解:用递推公式:,,对楼梯作归纳:当,只有一个台阶,只有一种走法;当,可以一步一阶,也可一步两阶,;当,可一步一阶,也可一步两阶一阶或一阶两阶,;,,。6、解:设,,1)至少参加一项比赛的人数:2)只参加四百米比赛的人数:

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