第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面

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1、第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面§4.1柱面1、已知柱面的准线为：且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。解：（1）从方程，中消去，得到：，即：，此即为要求的柱面方程。（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：，而在准线上，所以，上式中消去后得到：，此即为要求的柱面方程。2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。解：由题意知：母线平行于向量，任取准线上一点，过的母线方程为：而在准线上，所以：，消去，得到：，此即为所求的方程。3、求过三条平行直线的圆柱面方程。解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为19，这三点所定的在平面

2、上的圆的圆心为，圆的方程为：，此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点，且方向为的直线方程为：，将此式代入准线方程，并消去得到：此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为，母线的方向平行于向量，试证明柱面的向量式参数方程与坐标式参数方程分别为：与式中的为参数。证明：对柱面上任一点，过的母线与准线交于点，则，，即，亦即，。此即为柱面的向量式参数方程。又若将上述方程用分量表达，即：，此即为柱面的坐标式参数方程。§4.2锥面1、求顶点在原点，准线为的锥面方程。解：设为锥面上任一点，过与的直线为：设其与准线交于，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去参数，得：，即：。19此为所要求的锥面方程

3、。2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：令它与准线交于，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得：。此为要求的锥面方程。3、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推），圆锥的轴与等角，故的方向数为，与垂直的平面之一令为，平面在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点，该圆的圆心为，故该圆的方程为：，它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点，过与顶点的母线为：。令它与准线的交点为，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得：，此即为要求的圆锥面的方程。4、求顶点为，轴与平面垂直，且经过点的圆锥面的方程。解：

4、轴线的方程为：，过点且垂直于轴的平面为：，即：，该平面与轴的交点为，它与的距离为：.要求圆锥面的准线为：对锥面上任一点19，过该点与顶点的母线为：.令它与准线的交点为，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得：5、已知锥面的准线为，顶点决定的径矢为，试证明锥面的向量式参数方程与坐标式参数方程分别为：与，式中，为参数。证明：对锥面上任一点，令，它与顶点的连线交准线于，即。，且（顶点不在准线上），即，亦即，此为锥面的向量式参数方程。若将向量式参数方程用分量表示，即：，此为锥面的坐标式参数方程，为参数。§4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：（1）；绕旋转（2）；绕旋转（3）绕轴旋转；（4）

5、空间曲线绕轴旋转。解：（1）设是母线上任一点，过的纬圆为：19又在母线上。，从（1）——（3）消去，得到：，此为所求的旋转面方程。（2）对母线上任一点，过的纬圆为：因在母线上，(3)从（1）——（3）消去，得到：，此为所求的旋转面的方程。（3）对母线上任一点，过该点的纬圆为：又在母线上，所以：（3）从（1）—（3）消去，得到：，此为所求的旋转面方程。（4）对母线上任一点，过的纬圆为：又在母线上，所以从（1）——（3）消去，得到：，即旋转面的方程为：2、将直线绕轴旋转，求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是什么曲面？解：先求旋转面的方程式：任取母线上一点，过的纬圆为：19又（3）从（1）—

6、—（3）消去，得到：，此即为所求旋转面的方程。当时，旋转面为圆柱面（以轴为轴）；当时，旋转面为圆锥面（以轴为轴，顶点在原点）；当时，旋转面变为轴；当时，旋转面为单叶旋转双曲面。3、已知曲线的参数方程为，将曲线绕轴旋转，求旋转曲面的参数方程。解：如图，设为上任一点，则对经过的纬圆上任一点，令在面上的射影为令，则，而而此即为旋转面的向量式参数方程，为参数。其坐标式参数方程为：§4.4椭圆面1、做出平面与椭球面的交线的图形。19解：平面与椭球面的交线为：，即——椭圆图形为：2、设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半，试求此动点的轨迹。解：设动点，要求的轨迹为，则即：，此即为的方程。3、由

7、椭球面的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为，设定方向的方向余弦分别为，试证：证明：沿定方向到曲面上一点，该点的坐标为该点在曲面上，，即.4、由椭球面的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面，设，试证：19证明：利用上题结果，有其中是的方向余弦。若将所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则是坐标向量关于新坐标系的方向余弦，从而，同理，，所以，即：5、一直线分别交坐标面于三点，当直线变动时，直线上的三定点也分别在三个