柱面锥面旋转曲面与二次曲线

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1、解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一

2、般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线方程20解析几何教案第四章柱面

3、·锥面·旋转曲面与二次曲面(1)母线的方向数X,Y,Z.即(2)任取柱面准线上一点则过此点的母线方程为且有,.从而消去参数最后得到一个三元方程，这就是以为准线,母线的方向数X,Y,Z的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解设是准线上的点,那么过的母线为,且(1)设,那么,,代入(1)得可得,即求得柱面方程为.例2.已知圆柱面的轴为,点(－1,－2,1)在此圆柱上,求这柱面的方程.解法一因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线,此

4、圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心,点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离为半径的球面与过知点(－1,－20解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面2,1)且垂直于轴的平面的交线,即准线圆的方程为设为准线圆上的点,那么,且过的母线为.消去参数即得所求的圆柱面方程.解法二将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为,轴上的定点为,而圆柱面上的点为,所以,因此到轴的距离为再设为圆柱上任意点,那么有即化简整理得.定理4.1.1在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺

5、元(坐标)的同名坐标轴。(即证方程（11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与z轴)证取曲面（11）与xOy坐标面的交线（12）为准线，z轴的方向0：0：1为母线方向，来建立这样的柱面方程。设为准线(12)上的任意一点，那么过的母线为20解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面，即（13）又因为在准线（12）上，所以有（14）（13）代入（14）消去参数，就得所求的柱面方程为，这就是方程（11），所以方程（11）就是一个母线平行于z轴的柱面。常见柱面方程(1)椭圆柱面(2)圆柱面(3)双曲柱面(4)抛物柱面空间曲线的射影柱面通过空间曲线L作柱面,使其母线平行于坐标轴轴,设这样的柱面

6、方程分别为,,这三个柱面分别叫曲线L对坐标面的射影柱面.作业20解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面§4.2锥面一.锥面定义空间中由通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫锥面.锥面的顶点:定点;母线:一族直线;准线:定曲线.二.锥面的方程空间直角坐标系下,顶点为,准线方程:任取准线上一点,则过此点的母线方程为且,.从而消去参数最后得到一个三元方程这就是以为准线,为顶点的锥面方程.例1、锥面的顶点在原点，且准线为，求锥面的方程。解设为准线上的任意一点，那么过的母线为，（1）且有（2）（3）由（1）（3）的（7）（7）代入（5）得所求的锥面方程为，或把它改写为，这个锥面叫做二

7、次锥面。一.锥面与齐次方程20解析几何教案第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲面定理4.2.1一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在原点的锥面.证设有关于关于x,y,z的齐次方程,那么根据齐次方程的定义有所以曲面过原点.再设非原点满足方程,即有那么直线的方程为代入,即有.所以整条直线都在曲面上,因此曲面是由通过坐标原点的直线组成,即他是以原点为顶点的锥面.虚锥面推论关于的齐次方程表示顶点在的锥面.