特殊曲面及其方程-柱面、锥面、旋转面

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1、引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。1.柱面图1定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱

2、面的特例。下面分几种情形讨论柱面的方程。1.1母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于轴，准线为面上的一条曲线，其方程为：图2又设为柱面上一动点（图2），则过点与轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的交点记为，因点在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点的坐标满足方程反过来，若一点的坐标满足方程，过作轴的平行线交面于点，则点的坐标满足准线的方程，这表明点在准线上，因此直线是柱面的母线(因为直线的方向向量为)，所以点在柱面上。综上所述，我们

3、有如下结论：母线平行上于轴，且与面的交线为的柱面方程为：（1）它表示一个无限柱面。若加上限制条件，变得它的一平截段面。同理，母线平行于轴，且与面的交线为的柱面方程为；母线平行于轴，且与面的交线为的柱面方程为。定理1：凡三元方程不含坐标中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。例1：以面上的椭圆，双曲线和抛物线为准线，母线平行于轴的柱面方程分别为图3它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故又

4、统称为二次柱面，其图形见（图3）。例2：证明，若柱面的准线为母线方向为，则柱面方程为（2）证：设为准线上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：（为叁数）①当点遍历准线上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数，由①式中最后一个式子得，代入其余两个式子，有因点在准线上，代入，即得(2)式若柱面的准线为母线方向为则柱面方程为：（3）若柱面的准线为：母线方向为则柱面方程为（4）1.2柱面的一般方程设柱面的准线是一条空间曲线，其方程为母线方向为，在准线上任取一点，则过点的母线方程是：（为叁数）这里是母线上点的流动

5、坐标。因点的坐标应满足：从上面这两组式子中消去参数，最后得一个三元方程(5)这就是以为准线，母线的方向数为的柱面方程。例3：柱面的准线是球面与平面的交线，母线方向是，求柱面的方向。解：设是准线上任一点，则过这点的母线方程为由此得代入准线方程，得消去参数，得展开，化简后得这就是所求的柱面方程。1.3柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为：：母线方向为又设是准线上的一点，则过的母线方程为（为参数）令在准线上移动，即让取所有可能的值，并让取所有可能的值，则由上式决定的点的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程

6、是：（6）例4：设柱面的准线为：母线方向为，求柱面的方程。解：由(6)式，柱面得参数方程为：从上式中消去参数和，得住面的一般方程1.4由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线，只给出生成规律下面举一例。图4例5：求以直线为轴，半径为的圆柱面方程，其中直线通过点,方向向量为。解：设为所求柱面上的一点（图4），按题意到的距离为，设，按向量的定义有两端平方即得所求柱面的向量是方程：①写成坐标式，即②若利用公式③则②式又可写成或=特别地，若取直线为轴，令，则比时柱面方程为。1.5曲线的射影柱面图5定义2：设是

7、一条空间曲线，为一平面，经过上每一点作平面的垂线，由这些垂线构成的柱面叫做从到的射影柱面（图5）显然，在上的射影就是从到的射影柱面与的交线。通常我们将平面取为坐标平面。给定空间曲线那么怎样求曲线到平面上的射影柱面方程？因为这个柱面的母线平行于轴，因此它的方程中不应含变量，这样只要消去即从的某一个方程中解出来，把它代入另一个方程中，就得到从向面的射影柱面方程：同理，曲线在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：因为射影柱面方程比一般三元方程简单，所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是：从曲线的方

8、程中轮流消去变量与，就分别得到它在面，面和面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。例6：求曲线在面上的射影。解：欲求曲线在面上的射影，需先求出曲线到面上的射影柱面，这又须从曲线方程消去，由的第一个方程减去第二个方程并化简得或将代入曲线的方程中的任何一个，得曲线到面的射影柱面：故两球面交线在面的射影曲线方程是这是一椭圆.2.锥面图6定义3：通过一定点且