特殊曲面及其方程（柱面、锥面、旋转面） 毕业论文

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1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文特殊曲面及其方程（柱面、锥面、旋转面）学生姓名：学号：20030101075系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2003-3班指导教师：完成日期：2008年5月日29学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要本文主要讨论和介绍特殊曲面（柱面、锥面、旋转面）的各种方程。关键词：柱面，锥面，旋转面，母线，准线，定方向，方程，曲线，直线，射影柱面，坐标轴，坐标面，二次齐次方程，叁数方程，一般方程，二次柱面，二次锥面，二

2、次曲面，平行圆，圆柱面，圆锥面，平面，椭圆，双曲线，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，抛物面，对称轴。29学士学位论文BACHELOR’STHESIS目　录中文摘要11.柱面31.1母线平行于坐标轴的柱面方程31.2柱面的一般方程61.3柱面的参数方程71.4由生成规律给出柱面的方程81.5曲线的射影柱面92.锥面112.1顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程112.2锥面的一半方程132.3锥面的参数方程162.4由生成规律给出锥面的方程173.旋转曲面203.1旋转曲面的一般方程213.2平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面

3、233.3旋转二次曲面25参考文献28致谢2929学士学位论文BACHELOR’STHESIS1.柱面图1定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线焦作准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特别。下面分几种情形讨论柱面的方程。1.1母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的

4、母线平行于轴，准线为面上的一条曲线，其方程为：图2又设为柱面上一动点（图2），则过点与轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的交点记为，因点在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点的坐标满足方程反过来，若一点的坐标满足方程，过作轴的平行线交面于点，则点的坐标满足准线的方程，这表明点在准线上，因此直线是柱面的母线(因为直线29学士学位论文BACHELOR’STHESIS的方向向量为)，所以点在柱面上。综上所述，我们有如下结论：母线平行上于轴，且与面的交线为的柱面方程为：（1）它表示一个无限柱面。若加上限制条件，

5、变得它的一平截段面。同理，母线平行于轴，且与面的交线为的柱面方程为；母线平行于轴，且与面的交线为的柱面方程为。定理1：凡三元方程不含坐标中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。例1：以面上的椭圆，双曲线和抛物线为准线，母线平行于轴的柱面方程分别为图3它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故又统称为二次柱面，其图形见（图3）。29学士学位论文BACHELOR’STHESIS例2：证明，若柱面的准线为母线方向为

6、，则柱面方程为（2）证：设为准线上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：①当点遍历准线上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数，由①式中最后一个式子得，代入其余两个式子，有因点在准线上，代入，即得(2)式若柱面的准线为母线方向为则柱面方程为：（3）若柱面的准线为：母线方向为29学士学位论文BACHELOR’STHESIS则柱面方程为（4）1.2柱面的一般方程设柱面的准线是一条空间曲线，其方程为母线方向为，在准线上任取一点，则过点的母线方程是：这里是母线上点的流动坐标。因点的坐标应满足：从上面这两组式子中消去参数，最后得一个

7、三元方程(5)这就是以为准线，母线的方向数为的柱面方程。例3：柱面的准线是球面与平面的交线，母线方向是，求柱面的方向。解：设是准线上任一点，则过这点的母线方程为由此得29学士学位论文BACHELOR’STHESIS代入准线方程，得消去参数，得展开，化简后得这就是所求的柱面方程。1.3柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为：：母线方向为又设是准线上的一点，则过的母线方程为（为参数）令在准线上移动，即让取所有可能的值，并让取所有可能的值，则由上式决定的点的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是：（6）例4：设柱面的准线为：母

8、线方向为，求柱面的方程。29学士学位论文BACHELOR’STHESIS解：由(6)式，柱面得参数方程为：从上式中消去参数和，得住面的一般方程1.4由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线，只给出生成规律下面举一例。图4例5：求以直线为轴，半径为的圆柱面方程，其中直线通过点,方向向量为