中考数学教学指导：例谈“韦达定理”在初中代数中的应用

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2、择使得到另一根易于计算的原则，酌情选择用两根之和或两根之积．解原方程变形为x2－6x＋1＝0，设方程的另一根为x1，∵已知一根为3－x1＋（3－6，∴x1＝3＋3＋．二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求例2已知关于x的一元二次方程x2＋6x＋a＝0（a3，求a的值．分析本题可直接把方程的已知根代入原方程，求出a的值，但由于已知根为无理数，3，设另一根为x1，则应用韦达定理中两根和的关系，可得x1＝－63）＝－38再应用两根之积的关系，得a＝（－3（－32．解略．例3设关于x的一元二次方程x2－px＋8＝0(p为常数)的两根为x1、x2，问p取何

3、值时，x1：x2＝1：2．分析本题可用求根公式先求出关于x的一元二次方程的两根，再根据两根之比，求出p的值，但解法较繁琐．可由已知两根的关系得x2＝2x1，再应用韦达定理，得⎧⎪3x1=p⎨2⎪⎩2x1=81容易解得p＝±6．解略，三、求两根和、积及其代数式的值．例4已知方程x2－x－4＝0的两根为x1、x2，试求（x12＋3x1＋4）·（x22＋3x2＋4）的值．分析本题可先用求根公式求出方程的两根，再代入所求式子求出它的值，但计算量比较大．可应用韦达定理，先把（x12＋3x1＋4）·（x22＋3x82＋4）适当变形，就可求出它的值．解由韦达定理，得

4、四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根，例5试检验4＋4－x2－8x＋4＝0的两根．分析本题可分别把两数代入检验，但计算量大，如果应用韦达定理，可只检验两数之和是否为8，两数之积是否为4，若都符合则为原方程两根，否则不是．解略．五、已知两数和与积，求此两数，例6已知两数和为5，积为1，求此两数．分析本题可用设元列方程求解．但应用韦达定理的逆定理，可直接写出方程求解，解依韦达定理的逆定理，可知此两数是一元二次方程x2－5x＋1＝0的两根，解得，x2六、求作方程使其根为已知数或满足某种条件例7求作一个一元二次方程，使其两根和为1，积为－3．分析本题可用

5、列方程方法求出一元二次方程．但如果应用韦达定理求解，会更方便．解8设所求一元二次方程为x2＋px＋q＝0（p、g为常数）．由一元二次方程的根与系数关系，可知－p＝1，g＝－3，从而得方程x2－x－3＝0．例8已知x1、x2为一元二次方程3x2－7x＋3＝0的两根，求作一个新的一元二次方x12程，使它的两根为2x1＋1，2x2＋1．分析本题可先解一元二次方程，求出它的解，再代入新方程两根的代数式，用列方程方法可求出新的一元二次方程，但方法很繁琐，如应用韦达定理，相对简单．解设所求一元二次方程为x2＋px＋q＝0（p、q为常数）．由韦达定理，可知七、在解方

6、程《组）中的应用．xx2-1+=2例9解方程：2x-1x分析本题直接解方程出现高次方程比较难，而利用韦达定理，会更容易．8八、在证明等式或不等式中的应用例10若实数a、b、c满足a＋b＋c＝0，abc＝1．求证：a、b、c有一个大于分析本题用常规方法证明比较难，利用韦达定理，会利索些．证明∵a＋b＋c＝0，abc＝1，∴a、6、c中必有一个正数，两个负数，不仿设a0．3．23九、简化有理系数多项式的求值x4-6x3-2x2+18x+23例11已知x＝4的值．x2-8x+15分析本题用代入法可求出所求代数式的值，但计算量大．可应用韦达定理先得到一个一元二

7、次方程，然后把所求代数式适当变形，可容易求出．解∵x＝4x2－8x＋13＝0．用x2－8x＋13去除所求式子的分子与分母，得x4-6x3-2x2+18x+23x2-8x+15(x=2-8x+13)(x2+2x+1)+10x2-8x8+13+2＝5．十、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号例12m为何值时，关于x的一元二次方程(m＋3)x2－mx＋1＝0的两个根，(1)均为正数；(2)一正一负；(3)均为负数，分析本题用常规方法有一定难度．利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合，比较容易确定两根的符号．解设方程(m＋3)x2－mx＋1

8、＝0的两根为x1、x2．(1)要x1，x2均为正，必须有4⎧⎪x1+xm2=0⎪m+3⎪⎨x1