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时间:2018-04-26
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1、题目第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算高考要求1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题,形成良好的思维品质知识点归纳定义:一组对象的全体形成一个集合.特征:确定性、互异性、无序性.表示法:列举法{1,2,3,…}、描述法{x
2、P}.韦恩图分类:有限集、无限集.数集:自然数集N
3、、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ.关系:属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等=.运算:交运算A∩B={x
4、x∈A且x∈B};并运算A∪B={x
5、x∈A或x∈B};补运算={x
6、xA且x∈U},U为全集性质:AA;φA;若AB,BC,则AC;A∩A=A∪A=A;A∩φ=φ;A∪φ=A;A∩B=AA∪B=BAB;A∩CA=φ;A∪CA=I;C(CA)=A;C(AB)=(CA)∩(CB).方法:韦恩示意图,数轴分析.注意:①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};②AB时
7、,A有两种情况:A=φ与A≠φ.③若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为,所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是。④区分集合中元素的形式:如;;;;;;。⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别;0与三者间的关系。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况。⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关系;符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系。题型讲解例1已知A={x
8、x3+3x2+2x>0},B={
9、x
10、x2+ax+b≤0}且A∩B={x
11、0<x≤2},A∪B={x|x>-2},求a、b的值.解:A={x
12、-2<x<-1或x>0},设B=[x1,x2],由A∩B=(0,2]知x2=2,且-1≤x1≤0,①由A∪B=(-2,+∞)知-2≤x1≤-1.②由①②知x1=-1,x2=2,∴a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2.评述:本题应熟悉集合的交与并的涵义,熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交与并的方法.例2设集合P={m
13、-1<m≤0},Q={m∈R
14、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成立
15、的是A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q剖析:Q={m∈R
16、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},对m分类:①m=0时,-4<0恒成立;②m<0时,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得-117、-118、x2+mx-y+2=0},B={(x,y)19、x-y+1=0,0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内,此题20、的思维方法是很难找到的.事实上,集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用,它的实际背景是“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译,是考生必须具备的一种数学素质.解:由得x2+(m-1)x+1=0.①∵A∩B≠,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1.当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知,方程①只有负根,不符合要求;当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及21、x1x2=1>0知,方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.综上所述,所求m的取值范围是(-∞,-1].评述:上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.例4设,求实数的取值范围。分析:若满足,则集合B需分两种情况求解。①集合A中的元素x是集合B中的元素;②集合B为空集。解:由.∵,∴当,即无实根,由,即,解得;当时,由根22、与系数的关系:当时,由根与系数的关系:当时,由根与系数的关系:综上所得。例5求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?分析:分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。解:如图先画
17、-118、x2+mx-y+2=0},B={(x,y)19、x-y+1=0,0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内,此题20、的思维方法是很难找到的.事实上,集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用,它的实际背景是“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译,是考生必须具备的一种数学素质.解:由得x2+(m-1)x+1=0.①∵A∩B≠,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1.当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知,方程①只有负根,不符合要求;当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及21、x1x2=1>0知,方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.综上所述,所求m的取值范围是(-∞,-1].评述:上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.例4设,求实数的取值范围。分析:若满足,则集合B需分两种情况求解。①集合A中的元素x是集合B中的元素;②集合B为空集。解:由.∵,∴当,即无实根,由,即,解得;当时,由根22、与系数的关系:当时,由根与系数的关系:当时,由根与系数的关系:综上所得。例5求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?分析:分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。解:如图先画
18、x2+mx-y+2=0},B={(x,y)
19、x-y+1=0,0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内,此题
20、的思维方法是很难找到的.事实上,集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用,它的实际背景是“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译,是考生必须具备的一种数学素质.解:由得x2+(m-1)x+1=0.①∵A∩B≠,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1.当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知,方程①只有负根,不符合要求;当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及
21、x1x2=1>0知,方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.综上所述,所求m的取值范围是(-∞,-1].评述:上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.例4设,求实数的取值范围。分析:若满足,则集合B需分两种情况求解。①集合A中的元素x是集合B中的元素;②集合B为空集。解:由.∵,∴当,即无实根,由,即,解得;当时,由根
22、与系数的关系:当时,由根与系数的关系:当时,由根与系数的关系:综上所得。例5求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?分析:分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。解:如图先画
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