高二数学集合的概念与运算

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1、题目第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算高考要求1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质知识点归纳定义：一组对象的全体形成一个集合.特征：确定性、互异性、无序性.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x

2、P}.韦恩图分类：有限集、无限集.数集：自然数集N

3、、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ.关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝.运算：交运算A∩B＝{x

4、x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x

5、x∈A或x∈B};补运算＝{x

6、xA且x∈U}，U为全集性质：AA；φA；若AB，BC，则AC；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝AA∪B＝BAB；A∩CA＝φ；A∪CA＝I；C(CA)＝A；C(AB)＝(CA)∩(CB).方法：韦恩示意图,数轴分析.注意：①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②AB时

7、，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是。④区分集合中元素的形式：如；；；；；；。⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。题型讲解例1已知A={x

8、x3＋3x2＋2x＞0}，B={

9、x

10、x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x

11、0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.解：A={x

12、－2＜x＜－1或x＞0}，设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0，①由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.②由①②知x1＝－1，x2＝2，∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.例2设集合P={m

13、－1＜m≤0}，Q={m∈R

14、mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立

15、的是A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q剖析：Q={m∈R

16、mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1

17、-1

18、x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）

19、x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题

20、的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.解：由得x2+（m－1）x+1=0.①∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及

21、x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］.评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.例4设，求实数的取值范围。分析：若满足，则集合B需分两种情况求解。①集合A中的元素x是集合B中的元素；②集合B为空集。解：由.∵，∴当，即无实根，由，即，解得；当时，由根

22、与系数的关系：当时，由根与系数的关系：当时，由根与系数的关系：综上所得。例5求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？分析：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。解：如图先画