函数模型及其应用-2017-2018学年高一数学人教版（必修1）

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1、一、几类不同增长的函数模型1．常见的函数模型（1）一次函数模型：（均为常数，），也称线性函数模型.其增长特点是直线上升，增长速度______.学@科网（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型（均为常数，）；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型（均为常数，）.（3）指数函数模型：（均为常数，，，）.其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度_____，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.（4）对数函数模型：（为常数，）.其增长特点是随着自变

2、量的增大，函数值增大的速度______，即增长速度平缓.（5）幂函数模型：（为常数，）.其增长速度介于指数增长和对数增长之间.2．几类函数模型的增长差异一般地，在区间上，尽管函数，和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个，使得当时，就有.3．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较21函数性质　　在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增

3、长平缓介于指数函数与对数函数之间,相对平稳图象的变化随x的增大，图象与轴接近平行随x的增大，图象与轴接近平行随n值变化而各有不同名师提醒选取上述三个增长函数模型时，应注意：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.二、函数模型的应用函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.其中，建立函数模型解决实际问题是常见形式.解函数

4、应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.用框图表示如下：数学问题实际问题建模审题、转化、抽象问题解决解模运算实际问题结论数学问题答案还原21K知识参考答案：一、1．（1）不变（3）越来越快（4）越来越慢K—重点对几种常见的函数模型的理解，解函数应用题K—难点

5、解函数应用题K—易错1.要正确理解增长率公式；2.求解数学应用题必须突破三关，（1）理解关：一般数学应用题的文字阅读量比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义；（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题；（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型1．线性函数、指数函数、对数函数、幂函数的增长速度不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；（3）对数函数

6、增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；（4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.【例1】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案.在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的．现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型符合公司的要求？【解析】借助计算器或计算机作出函数，，，的部分

7、图象，如图所示.观察图象发现，在区间上，模型，的图象都有一部分在直线21的上方，只有模型的图象始终在的下方，这说明只有按模型进行奖励，才符合公司的要求．【名师点睛】除了根椐函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.2．一次函数模型的应用利用一次函数模型解决实际问题时，需注意：（1）常用待定系数法求一次函数的解析式.学*科网（

8、2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.【例2】A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格(部分)如下表所示：运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座AB81(元)68(