指数函数及其性质-2017-2018学年高一数学人教版（必修1）

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1、2.1.2指数函数及其性质一、指数函数1．指数函数的概念一般地，函数_____________叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.2．指数函数的结构特征(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是.二、指数函数的图象与性质1．一般地，指数函数的图象和性质如下表所示：图象定义域值域奇偶性非奇非偶函数对称性函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称过定点过定点，即时，单调性在上是___函数在上是___函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，2．指数函数中的底数对其图象的影响14指数函数在同

2、一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0

3、满足；③指数是；④定义域是.（2）已知函数类型时，通常设出函数的解析式，利用待定系数法求解.已知指数函数的图象经过，试求和的值.14【答案】，.【解析】设，∵函数的图象经过，∴，解得，又，则，∴，则，.【技巧点拨】解方程的关键是先把变形为，则.2．K难点——指数函数的图象（1）由于指数函数的图象过定点，因此形如且的函数图象过定点的问题，可令指数为0，即令，即，得，从而图象过定点.（2）指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系总结如下:在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

4、（3）判断底数大小的方法：过点（1，0）作与y轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即该指数函数的底数.如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】D14【知识延伸】一般地，当函数与函数（即函数）的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图象是关于轴对称的.3．K重点——与指数函数相关的定义域和值域问题（1）求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是型还是型，前者的定义域是，后者

5、的定义域与的定义域一致，而求型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式（组）.（2）对于值域问题，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是.(1)函数的定义域是_______，值域是_______．(2)函数的定义域是________，值域是________．【答案】(1)，(0,1]；(2)，.【解析】(1)显然函数的定义域是.14由于

6、x＋1

7、≥0，而0<<1，所以y有最大值1，即值域为(0,1]．(2)因为，所以，则函数的定义域是.因为指数函数的值域是，又，所以y≠2，则函数的值域为.【名师点睛】求指数函数的定

8、义域和值域，前面所讲的求函数的定义域和值域的方法仍然适用，但在求解过程中要注意正确运用指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域为.4．K重点——指数函数单调性的应用（1）比较大小：对指数式比较大小时，要看底数与指数是否相同，若底数相同、指数不同，可直接利用单调性比较；若底数不同、指数相同，可利用指数函数的图象解决；若底数不同、指数也不同，可以采用中间量法，中间量常取1.（2）解含指数式的不等式：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解.设，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】A【名师点睛】不管

9、是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分与两种情况讨论.5．K易错——利用换元法时，遗漏指数函数的值域导致出错求函数的值域.14【错解】令，则，即当时，，则的值域为.【错因分析】，错解中忽略了这一点，把的取值范围当成了实数集.【正解】令，，则.因为函数在上单调递增，所以，即函数的值域为.【名师点睛】解决与指数函数有关的问题时，经常用到换元法，以达到化繁为简的目的，但换元时，必须考虑原函数的定义域及值域，并由此确定新元的范围，以达到等价转化，避免因考虑不周而失分.1．下列函数中：①；②；③；④.其中，指数函数

10、的个数是A．0　　　　B．1C．2D．32．若函数y=(a–1)x在实数集上为减函数，则a满足A．a＜1B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．1＜a＜3．函数y=2x＋1