对数函数及其性质-2017-2018学年高一数学人教版（必修1）

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1、2.2.2对数函数及其性质一、对数函数1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_____.2．对数函数的结构特征(1)对数符号前面的系数是1；学…科网(2)对数的底数是不等于1的正实数(常数)；(3)对数的真数仅有自变量x.二、对数函数的图象与性质1．一般地，对数函数的图象和性质如下表所示：图象定义域值域奇偶性非奇非偶函数过定点过定点，即时，单调性在上是___函数在上是___函数19函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，【注】速记口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1来可不行；底数若是大于1，图象

2、从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(1,0)点．2．对数函数中的底数对其图象的影响在直线x=1的右侧，当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0

3、：一、1．二、1．减增19K—重点：对数函数的概念、对数函数的图象与性质.K—难点：对数型复合函数的性质及其应用.K—易错：关于对数函数常见的易错点有三个：（1）忽略对数函数定义域的限制；（2）对于字母为底数的对数函数不加讨论；（3）解有关对数函数的不等式时，忽略真数大于0这一基本条件，使解集扩大.1．K重点——与对数函数有关的函数的定义域和值域定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母

4、不能为零等.求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）求函数的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得，解得，故函数的定义域是.（2）=，.令，则.又在上为增函数，∴的最大值是．【名师点睛】19求函数的最值，一定要坚持“定义域优先”的原则.由对数函数组成的复合函数的最值问题，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围.2．K重点——对数函数的图象对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即

5、可得到定点的坐标.当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．设，函数的图象恒过定点P，则P点的坐标是A．B．C．D．【答案】A【名师点睛】本题求定点坐标的依据是对数函数的图象过定点（1,0），不必分和两种情况讨论.3．K重点——对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数

6、式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助1，0等中间量进行比较.（2）解简单的对数不等式：形如的不等式，常借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况进行讨论；形如的不等式，应将化为以19为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解.已知，则A．B．C．D．【答案】C【解析】,,故选C.【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1，0来进行比较.

7、4．K难点——对数型复合函数的性质及其应用（1）对数复合函数的单调性复合函数y=f[g(x)]是由y=f(x)与y=g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．对于对数型复合函数y=logaf(x)来说，函数y=logaf(x)可看成是y=logau与u=f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．学+科网（2）对于形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函

8、数，其值域