“工具性理解”“关系性理解”和“创新性理解”

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1、万方数据第：3卷第t期数学教育学报V01．23．N0．4“工具性理解"“关系性理解"和“创新性理解’’任伟芳1，偶伟国1，龚辉1，张敏1，朱赛飞1，王继光1，张奠宙2(1．浙江省鄞州区教育局教研室，浙江宁波315100；2．华东师范大学，上海200062)摘要：2l世纪以来，国内学者对工具性理解和关系性理解曾有介绍与评论，但在日常的教学实践中很少运用．对工具性理解进行本土化的解释，并提出数学理解的3个层次：工具性理解、关系性理解和创新性理解．以二元一次方程、分数的乘法、基本不等式3个内容为例进行了3个层次的剖析．给出多层次的数学理解分类：工具性理解的分类：关系性理解的分类；

2、创新性理解的分类．关键词：工具性理解：关系性理解：创新性理解；理解的分类中图分类号：G40-03文献标识码：A文章编号：1004-9894(2014)04-0069--05在日常教学设计中，人们常常关注的问题是：学生是理解了知识还是没有理解知识，是部分理解还是全部理解等．但是，很少考虑到是不是还有不同类型的理解．当代最负盛名的英国数学心理学家斯根普(R．Skemp)有一篇著名论文，题目是“关系性理解和工具性理解”(RelationalandInstrumentalUnderstanding)⋯，这是对“理解”层次认识的一次重大突破．1国内学者对工具性理解和关系性理解的介绍与

3、评论斯根普指出，工具性理解是指一种语义性理解：符号A所指代的事物是什么．或者一种程序性理解，一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如何操作等．简言之，就是按照语词的本意和计算程序进行操作，即“只知是什么，不知为什么”．关系性理解则还需对知识意义和替代物本身结构上的认识，获得概念和规律(定律、定理、公式、法则等)的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等，简言之：“不仅知道要做什么，而且知道为什么”．那么通常所说的理解是指那一种理解呢?《辞海》解释说：“理解是应用已有知识揭露事物之间联系而认识新事物的过程．”[21《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》将理解解释为：“能描述对象的

4、特征和由来，能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别与联系．”[31李士锈则认为，理解一个数学对象，是指“在心理上能够组织起适当而有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分”(41．《辞海》、课程标准和李士铸所说的理解，都涉及“事物间的联系”，“对象的区别与联系”，“认知结构、知识网络”等关键词，实质上都是指“关系性理解”．因此，通常的教学实践中工具性理解几乎被忽视．2l世纪以来，国内学者对斯根普的“理解分类”进行了介绍与研究．马复首先分析了斯根普的两种理解．然后指出，传统的“定义(定理)一实例一练习一习题”的数学教学模式所表现出来的对于理解的定位就是“工具性理解”．

5、但教学设计应当让学生获得的是关系性理解，而要想达到“关系性理解”显然还需要让学生从事其它类型的数学学习活动fsj．在后续的魏民、钟志华的论文中，都研究如何从“工具性理解”向“关系型理解”的转变，加强过程性教学[61，却都未对“工具性理解”的价值做出更多的阐述．2对工具性理解进行本土化的解释斯根普认为，工具性理解也是一种理解，并进一步指出这种理解还有许多优点．有些知识如两个负数相乘或分数相除，很难从关系上去理解．“负负得正”以及“除以分数等于乘以这个分数的倒数”是很容易记住的规则，值不易解释其原因【7】．斯根普的这种说法和中国研究者固有的一些理念发生冲突．长期以来，中国研究者

6、一直认为“知其然而不知其所以然”乃是一种机械记忆，不能归属于理解的范围．新课改以来，更强调课堂教学要设定“过程性目标”，即认为学习必须“知其然而且要知其所以然”，必须揭示知识的发生过程．因此，需要结合本土的有关论述，进一步阐明工具性理解的意义．首先想起钱伟长的一则关于“刀”的故事．1996年钱伟长在《自然杂志》复刊后的卷首篇发表了一篇文章，其中提到数学工具与工程技术关系的论述，钱伟长说：“做一番事业，用的工具要恰到好处，目的是解决问题．就像屠夫杀猪要用好刀，但这把刀能用好就行，不要整天磨刀，欣赏刀，刀磨得多好啊!那是刀匠的事．”钱校长还说：“不要做刀匠，要做屠夫，去找最合适

7、的刀，去杀最难的问题．”181钱伟长对数学这把刀在工程上应用的论述，和斯根普所说的“工具性理解”意思是相通的，仔细想来，钱伟长所说的“刀”就是工具．对于“刀”，使用者必须能加以识别，了解它的价值、效能、用途，会用它解决各种问题，即知悉“刀”之“然”．这是大多数“屠夫”应知应会的内容．一些好的“屠夫”虽然不是刀匠，不必会制造刀．但是知道一些“刀”的制造过程，“知道其所以然”，有助于用好刀．这相当于对“刀”的关系性理解．至于一些使用该刀的专家(屠夫)，除了能够创造性地利用这把刀，解决一些复杂的问题，并转而发现原“刀”的