第7章习题答案-概率论与数理统计(郝志峰版)

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1、第7章习题答案1.设总体ξ有分布律ξ-102p2θθ1-3θ1其中0<θ<为待估参数，求θ的矩估计。3ˆ1解：Eξ=(−1)*2θ+0*θ+2*(1−3θ)=−8θ+2.令ξ=-8θˆ+2，则θ=(2−ξ).82.设总体ξ有分布密度⎧2⎪(θ−x),00为待估参数，求θ的矩估计。∞θ2θθˆ解：Eξ=xf(x)dx=x(θ−x)dx=.令ξ=,则θˆ=3ξ.∫∫2θ33−∞03.设总体ξ在[a−b,3a+b]上服从均匀分布，其中a>0,b>0为待估参数，求a,b的矩估计。∞3a+b122解：Eξ=∫xf(

2、x)dx=∫xdx=2a≈ξ(1),Dξ=Eξ−(Eξ)2a+2b−∞a−b∞22~2=∫xf(x)dx−(2a)≈S(2)；−∞12ˆ1,ˆ1~由（），（）得，a=ξb=−ξ+3S.224.有一批灯泡寿命（小时）的抽取样本：1458，1395，1562，1614，13511490，1478，1382，1536，14962试用矩估计法对这批灯泡的平均使用寿命µ及寿命方差σ作出矩估计。1解：ξ=（1458+1395+1562+1614+1351+1490+1478+1382+1536+1496）≈µ，10~212222解得µˆ=1476.2；S=[(

3、1458−1476.2)+(1395−1476.2)+……+（1496−1476.2）]≈σ，102解得σˆ=6198.56.5.已知某电子设备的使用寿命ξ服从指数分布，其分布密度函数为⎧1−x/θ⎪e,x>0,f(x)=⎨θ⎪⎩0,x≤0其中θ>0，现随机抽取10台，测得寿命的数据（小时）如下：1050，1100，1080，1120，12001250，1040，1130，1300，1200求θ的最大似然估计。解：似然函数为10101−∑xi/θ10L(x,θ)=∏f(x)=ei=1,两边取对数得lnL(x,θ)=ln1−10lnθ−∑x/θ.ii

4、10iii=1θi=1dlnL(x,θ)i令=0,解得θˆ=x=1147（小时）.最大似然估计dθ6.设ξ,ξ,……，ξ是取自总体ξ的一个样本，ξ～B(1,p),其中p为未知，0

5、的Eξ和Dξ的无偏估计。1161解：Eξ的无偏估计ξ=(0*92+1*68+2*28+3*11+4*1)==0.8.200200212222Dξ的无偏估计S=[(0−0.8)*92+(1−0.8)*68+(2−0.8)*28+(3−0.8)*111992+(4−0.8)*1]=0.83.8.设ξ,ξ,……,ξ是取自总体ξ的一个样本，n≥2,ξ~B(1,p),其中p为未知，0

6、p=p，即ξ是p的无偏估计。112222（2）Eξ≠p，所以ξ不是p的无偏估计。1122(3)因为ξ,ξ独立，所以Eξξ=EξEξ=EξEξ=p,即ξξ是p的无偏估计。121212129.设总体ξ服从正态分布N(µ,1),ξ,ξ是从总体ξ中抽取的一个样本，验证下面三个估计量：12211311（1）µˆ=ξ+ξ；（2）µˆ=ξ+ξ；（3）µˆ=ξ+ξ112212312334422都是µ的无偏估计，并求出每个估计量的方差，问哪一个最好？21415解：由ξ,ξ独立，则（1）Dµˆ=D(ξ+ξ)=Dξ+Dξ=.12112123399913197(2)Dµˆ

7、=D(ξ+ξ)=Dξ+Dξ=.212124416161611111(3)Dµˆ=D(ξ+ξ)=Dξ+Dξ=最小，也即最好。3121222442010.用某仪器间接测量温度，重复测量5次，得（单位：C）:1250,1265,1245,1260,12752假定重复测量所得温度ξ~N(µ,σ)，求总体温度真值µ的95%的置信区间：（1）根据以往长期经验，已知测量精度σ=11；（2）当σ未知时。2σξ−µ解：(1)已知ξ～N(µ,),取统计量U=,则有U~N(0,1),对于给定的置信概率1−α,nσ/nξ−µσσ可求出u使得P(

8、<µ<ξ+u)=1−α,α/2α/2α/2α/2σ/nnnσσ即µ的置信概率为1−α的置信区间为（ξ−u<µ<ξ+u）（*