布朗运动、郎之万方程式、与布朗动力学

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1、布朗運動、郎之萬方程式、與布朗動力學(BrownianMotion,LangevinEquation,andBrownianDynamics)文/王子瑜、曹恒光在西元1905年前後，愛因斯坦(AlbertEinstein)除研究狹義相對論外，也鑽研布朗運動。在愛因斯坦發表狹義相對論的百年紀念之際，本文首先概述布朗運動並簡述愛因斯坦和史摩勒丘司基(Smoluchowski)如何以機率觀念詮釋布朗粒子的平均行為。但現代對布朗運動的理論描述常採用較易瞭解的朗之萬(Langevin)理論，其特點是我們可以將

2、許多流體分子碰撞布朗粒子的效應簡化成一隨機熱擾動力，然後追蹤單一布朗粒子的運動軌跡。這種方法解決了直接以牛頓動量守恆方程追蹤系統中所有布朗粒子與流體分子軌跡(稱為分子動力學)的困境：懸殊的時間尺度差異(timescalesseparation)。這種簡化布朗粒子周遭流體貢獻的電腦模擬計算，我們稱之為布朗動力學，它已被廣泛地應用於膠體科學與生物物理領域。本文將就朗之萬方程及布朗動力學作一簡單的介紹。性，重覆將布朗粒子從原點釋出的實驗，由於布朗運一、布朗運動、機率、與郎之萬方程式動的等向性，我們不難瞭解

3、平均位移為零的結果。(2)粒子隨著時間往各個方向運動而遠離原點，將粒子的西元1827年，英國的植物學家勞伯‧布朗移動距離先取平方，再取平均，我們將發現位移平方(RobertBrown)，在顯微鏡下觀察到懸浮在水中的花粉的平均與所經過的時間t成正比；在同一時間條件下，粒子，會不停地進行連續但不規則的運動。這種類似布朗粒子遠離原點的快慢則代表布朗擴散係數D。愛生命體的運動特徵引發科學家們研究微小粒子的運動因斯坦可說是第一位以定量理論詮釋布朗運動，稍後行為。經過許多的實驗與探討，科學家發現這現象應史摩勒丘

4、司基也發表以機率平衡方程式描述布朗運該是微小粒子受到週遭液體分子從四面八方的連續撞動。在無外力作用下，一維空間中的布朗運動可寫成，擊，而產生連續但不規則地隨機移動，這種移動我們2PP稱之為布朗運動(Brownianmotion)。布朗運動具有下D。解算上式可得到Einstein-2tx列的特性：(1)粒子的運動永不停止；(2)溫度的改變會2SmoluchowskiEquation,x2Dt。影響粒子的運動；(3)粒子的運動沒有固定的軌跡，其運動軌跡呈鋸齒狀；(4)粒子的大小影響粒子

5、的運動速根據愛因斯坦的布朗運動理論，法國物理學家皮度；(5)粒子的成份或密度不會影響粒子的運動。林(JeanPerrin)進行膠體粒子(colloidalparticles)的重力沉降與布朗擴散的平衡實驗。密度比水重的膠體粒子西元1906年，愛因斯坦在發表狹義相對論後，也會因重力沉降至容器底端。但布朗運動(擴散)會使膠發表了他以『機率』的觀念探討布朗運動的定量結果。體粒子往上懸浮。兩者平衡的結果會產生粒子濃度分值得一提的是，雖然他以光電效應獲得諾貝爾物理佈。膠體粒子的化學位能(chemicalpot

6、ential,)可寫成獎，他曾因布朗運動理論而被提名。根據愛因斯坦的0+mgx+kBTlnc(x)，其中m和c分別代表膠體粒研究分析，粒子的運動雖然不規則，但是布朗運動在子的質量與濃度。當系統處於熱力學平衡時，我們可長時間下的平均移動行為會呈現常態分佈，可視為布得到c=c0exp(mgx/kBT)，其中c0代表粒子在x0的濃朗粒子的擴散行為。依據布朗粒子在時間t與位置x時度。同樣的結果也可由愛因斯坦或史摩勒丘司基的布的機率P(x,t)，我們可得到兩個重要結論，分別是(1)朗運動理論求

7、得。在重力作用的狀況下，布朗粒子處粒子的位移平均為零(即x0)。由於位移的向量特在位置x的機率P(x,t)須遵守方程物理雙月刊（廿七卷三期）2005年6月4562PgPDP，其中表示粒子在流體中運動dxdxmR()t(1)txxdt2dt所受的摩擦阻力。平衡時，該方程的解為將方程式(1)乘上x，我們得到PP0exp(gx/D)。兩相比較，我們可得到布朗擴散係22dxddxdx數為DkTB，該式稱為Nernst-EinsteinE

8、quation。mxmx2mdtdtdtdt(2)dx皮林的實驗觀察並量測到膠體濃度的分佈，實驗結果mxR()txdt證明了愛因斯坦的理論並由此求得理想氣體常數與亞由於熱擾動力R(t)與粒子所處位置x並無相關性，所以佛加厥常數。皮林因相關的實驗工作獲頒一九二六年諾貝爾物理獎。Rtx()0。同時熱力學平衡時，系統中粒子的平2均動能代表溫度，即1dx1。將上述兩項mkTB22dt事實帶入方程式(2)可解得xt2