基于拓展分离变量法的非傅里叶传热研究

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1、基于拓展分离变量法的非傅里叶传热研究奎细霞王丽戴诲燕李长玉华南理工大学亡州学院汽车与交通工程学院针对常规的分离变量方法不能求解非傅里叶传热模型的问题，对常规分离变量法进行了拓展，并且利用拓展后的方法求解了热传导的傅里叶模型，单相位滞后（C-V）模型和双相位滞后（DPL）模型，比较了利用三种模型计算的温度场的差别。研宄了C-V模型和DPL模型中温度波动的规律，得到了温度波动速度和热流量时间滞后值的关系。关键词：分离变量法;非傅里叶模型;温度场;双相位滞后;傅里叶热传导模型假设热传播速度是无限大的，即其认为任何位置的温度扰动都能即时引起其他位置的温

2、度扰动，傅里叶传热模型自建立以来在工程研究中得到了广泛的应用［1-7］o但是实际情况中热的传播速度是有限的，在利用傅里叶传热模型分析微纳尺度传热，极低温传热，生物组织传热，超短时传热等问题时往往得不到较好的结果［8-13］。针对此问题研宄人员建立了非傅里叶传热模型。主要有单相滞非傅里叶传热模型（c-v模型）mi和双向滞非傅里叶传热模型（dpi.模型）m。其中单相滞非傅里叶传热模型可用第1小节式（2）表示。C-V模型认为温度梯度建立和热流量产生并不在同一个时刻，其中^为热流量产生较温度梯度建立滞后的时间。针对C-V模型，Vedavar利用有限差分

3、法研究求得了其温度场分布情况IM。陈玲红等利用非傅里叶传热模型研究了激光诱导下微尺度碳颗粒非傅里叶现象。王颖泽等利用C-V模型研究了热冲击下平面薄板的非傅里叶效应［11］。MKashcooli利用数值的方法求解了C-V模型，并将其利用到生物组织热损伤中评估中uzi。考虑到温度梯度也可能存在滞后的问题，Tzou修正了单相滞热传导模型1^1，建立了双相滞热传导模型，可用第1小节式（3）表示。其中tt表示温度梯度滞后的吋间。针对DPL模型相关人员做了大量的研究。KCIJu等利用拉普拉斯变化的方法求得DPL模型的解析解，利用其对人体皮肤传热进行Y研究x

4、u等利用有限差分法求得了其解析解，并将其应用在生物组织传热中m;KRamadan等利用拉齊拉斯变换的方法求解了DPL模型，研宄了层合薄层结构在热冲击时温度波动现象[19],李凌等利用扩展的玻璃兹曼格子法求解了DPL热传导模型[20],MaJingxuan等利用格林函数法求解了二维的DPL模型，研究了薄板结构的在移动激光脉冲加热下的温度分布情况XZil。本文对常规的分离变量法进行Y拓展，之后将其应用到傅里叶和非傅里叶传热模型的求解中去，求得了三种模型（傅里叶模型，C-V模型和DPL模型）的解析解，分析了温度梯度滞后值和热流量滞后值对温度场分布的影

5、响，研宄了非傅里叶传热模型中的温度波动情况。1物理模型利用非傅里叶传热理论研究超薄薄膜传热的问题可建立如图1所示模型，薄膜厚度为L，薄膜的左表面施加热源T（0,t）=f（t）,薄膜右表面绝热。假设对此问题利用傅里叶传热模型分析，可列式（1）:假设对此问题利用单相位滞后（C-V）模型分析，可列式（2）:假设对此问题利用双相滞（DPL）模型分析，可列式（3）:图1模型示意图Fig.1Schematicdiagramofthemodel因式（1）和式（2）为式（3）的特殊情况，在后续的推导中按照双相滞（DPL）模型进行，将（3）进行一阶泰勒展开可得（

6、4）能量方程为:结合⑷和⑸可得:式（6）中P为薄板材料密度，L为薄板厚度，k为薄板导热系数，c为薄板比热容，t为时间变量。相应的边界条件为：相应的初始条件为:对其进行无量纲化可得:无量纲化的边界条件为:无量纲化的初始条件为:式(12)(13)(14)(15)屮分析模型可知当时式（11）退化为傅里叶传热模型，此时可以用传统的分离变量法设e（LT）=Y（GG（T），将0分离为只含I和T的两个函数分别求解。但是针对非傅里叶传热模型式（11）较傅里叶传热模型多出，所以并不能直接两项找出两个合适的特征函数将其分离。木文通关观察，选取了合适的特征函数，并且

7、利用特征函数的正交性对原控制方程进行变换，将此偏微分方程的求解问题转化为两个二阶常微分方程的求解问题。具体推导过程见第2节。2模型求解2.1边界条件其次化从式（12）可以看出该偏微分方程边界条件是非齐次的，为将其边界条件齐次化，在此假设：结合式（12）和（16）可知可见通过式（16）假设可将原问题转化为关于V（《，T）的齐次问题。2.2分离变量及求解将式（16）代入式（11）可得：选取式（20）作为式（19）的特征方程:为将v（I，t）进行分离变量，在此设:将式（21）代入式（20）可得:将式（21）代入式（17）（18）可得:结合（22）（2

8、3）（24）可以看出其为其次的二阶常微分方程，其特征方程为:因为Yn（€）满足式（26）所以其满足正交特性根据Yn（I）正交特性，为了将原v（I，t）