人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系

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1、人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系摘要：本文通过分析人在雨中奔跑的速度与淋雨量之间存在的关联，针对不同的降雨方向，将人简化为长方体模型，建立了奔跑速度与总淋雨量的优化模型。针对问题一，假设雨水淋遍全身且不考虑雨的方向，通过简单的模型分析得到跑完全程的总淋雨量。针对问题二，考虑雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向雨速和水平方向雨相对于人的速度，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数的单调性分析，得知总淋雨量最少时奔跑速度最大。针对问题三，考虑雨从后面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位

2、、竖直方向速度和水平方向上的相对速度，针对不同情况，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数单调性的分析讨论，得出了总淋雨量最少时的奔跑速度。针对问题五，针对雨线方向与跑步方向不在同一平面内的情况，对雨速进行空间直角坐标分解，结合问题三，分析模型发生的变化。关键词：跑步速度；总淋雨量；相对速度；单调性分析；矢量分解6一、问题重述对于行人来说，下雨天最糟糕的情况莫过于出门在外雨伞没带。在这种情况下，人们习惯用快跑来摆脱困境。归根结底，“跑得越快淋雨就越少”的观点只是一种感性认识。因此，考虑通过建模来科学分析两者之间的关系。对于下列四个问题，分

3、别给出奔跑速度与淋雨量之间的定性分析。问题1：在不考虑雨线方向的情况下，计算以最大速度跑完全程的淋雨量。问题2：考虑雨从迎面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为。建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。问题3：考虑雨从背面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为。建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。问题5：考虑雨线方向与跑步不在同一铅直面上时，模型的变化。二、问题分析问题1，将人简化为长方体模型，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，分析人的淋雨面积共五个面分别为前面、背部、顶部

4、、左侧面和右侧面。在雨速为常数且方向不变情况下，可以根据人的最大奔跑速度和路程来求出时间；若测得单位时间，单位面积的降雨量，可以求出总淋雨量。问题2，雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直面内，且与人体的夹角为，雨速为常数且方向不变，可以将雨速正交分解为水平方向和竖直方向，由此分析可知淋雨部位为前面和顶部。另外，雨迎面打来，雨相对于人的速度会发生变化，查阅资料可以知道降雨强度与雨的空间密度以及雨速有关。故通过关系式表示出雨的相对速度后，可以进一步表示出降雨强度（单位时间段内的降雨量），时间则可以用路程与人的速度相比得出。将时间、淋雨面积

5、、降雨强度与总淋雨量关系表示出来，即可建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而分析求解出总淋雨量最少时的奔跑速度。问题3，雨从背面打来，雨线方向与跑步方向在同一铅直面内，且与人体的夹角为，同问题2一样进行分析，忽略次要因素，分析得知淋雨面积为背部和顶部。另外，由于雨线方向与问题2不同，以奔跑速度和雨速在水平方向上的分量大小分类讨论，时间仍由路程与奔跑速度之比表示，由此表示出时间、淋雨面积、降雨强度与淋雨量之间的关系，建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而讨论分析出总淋雨量最少时的奔跑速度。问题5，若雨线方向与奔跑方向，不在同一平面内，可以建立空间直角

6、坐标系，将雨速进行空间分解，分析可知淋雨部位，与问题3中的模型进行分析比较，可知模型变化。三、模型假设把人简化为一个长方体。雨速对人的奔跑速度的影响忽略不计。若长方体表面与雨速平行，假定不沾雨。人的奔跑速度恒定。降雨速度与强度不变。风速始终不变。6四、符号表示人体身高人体宽度人体厚度跑步距离跑步最大速度雨速降雨强度降雨量跑步速度同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与人体夹角同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角全过程所花费的时间面积淋雨量在一定时刻单位体积空间内雨滴所占的空间比例数五、模型建立与求解5．1问题的模型建立与求解设长方体模型作为人的

7、简化模型。全身面积：淋雨量：图15．2问题的模型建立与求解图1为问题的示意图。6迎面淋雨量：其中顶部淋雨量：其中淋雨量：（1）模型（1）连续变化，通过单调性分析，可知模型（1）是关于的单调递减函数，故当人的奔跑速度达到最大时，总淋雨量最少。5．1问题的模型建立与求解图2为问题的示意图。图2背面淋雨量：其中顶部淋雨量：其中当时淋雨量：6（2）模型（2）连续变化，通过单调性分析，模型（2）是关于的单调递减函数，故当人的奔跑速度达到最大时，总淋雨量最少。当时背面淋雨量：顶部淋雨量：淋雨量：（3）当时，人奔跑的速度越大，总淋雨量越小。人的奔跑速度最

8、大时，总淋雨量最少。当时，人奔跑的速度越小，总淋雨量越小。时，总淋雨量最少。5．1问题的模型建立与求解图3为问题的示意图。图3如图3所示，建立空间直角坐标系，将与跑步速度方向不在