数列求通项公式的常见题型与解题方法(已打)

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1、数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．数列这一章的主要章节结构为：近几年来，高考关于数列

2、方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．我仅对数列求通项公式这一部分内容做一个浅显的分析与提炼．题型1已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：1．数列的通项．2．数列

3、的通项．3．数列的通项．此题主要通过学生观察、试验、合情推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生数学思维能力．相对于填空题或是选择题只需利用不完全归纳法进行猜想即可；对于解答题，往往还需要我们进一步加以证明．例如（2003年全国高考）已知数列满足．(Ⅰ)求：；(Ⅱ)证明：．分析：问题（１）主要渗透一般化特殊化，利用已知的递推公式求具体．问题（２）与问题（１）紧密相连，可以从特殊入手，归纳论证相结合，求一般．当然还可用后面介绍的方法即注意到进行，由特殊化归为等比数列等加以证明．本题

4、贯穿特殊化与一般化的思维方法，实质上是归纳中的综合．课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能．例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：练习１:写出下面数列的一个通项公式：练习２．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内．年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（140）145舒张压（水银柱毫米）70

5、7375788083（85）88。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。练习３．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有__n2-n+1_个点．（1）（2）　（3）　　（4）　　　　　　（5）相关的高考试题有：（2004年全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项分析：由已知，．由生成两式相减得：，即为商型的，用累乘法可得即．…（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，

6、某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.题型2由an与Sn的关系求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：１．已知数列的前项和，则n．２．已知数列的前项和，则．这类题目主要注意与之间关系的转化．即：==．一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式．例如：（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn=（an-

7、1）(n)．(Ⅰ)求a1；a2；　(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．解:(Ⅰ)由,得∴又,即,得.(Ⅱ)当n>1时,得所以是首项,公比为的等比数列．课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能．例3.数列{an}的前n项和Sn=3·2n-3,求数列的通项公式.练习1：设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.练习2：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an．相关的高考试题有：(2004全国卷)已知数列{an}的前n

8、项和Sn满足：Sn=2an+(-1)n,n≥1．（Ⅰ）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有..解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；