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1、数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．数列这一章的主要章节结构为：近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本
2、身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．我仅对数列求通项公式这一部分内容做一个浅显的分析与提炼．题型1已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：⎧⎪0n为奇数1．数列0,2,0,2⋯的通项an=⎨．⎪⎩2n为偶数11111n12．数列−,,−,⋯的通项
3、a=（−1）．n1223××3445××nn(+1)1357n−12n−13．数列1+,1−,1+,1−⋯的通项a=1+（−1）．2222n22468(2)n此题主要通过学生观察、试验、合情推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生数学思维能力．相对于填空题或是选择题只需利用不完全归纳法进行猜想即可；对于解答题，往往还需要我们进一步加以证明．n−1例如（2003年全国高考）已知数列{a}满足a=1,a=3+a(n≥2)．n1nn−1(Ⅰ)求：aa,；23n3−1(Ⅱ)证明：a=．n2分析：问题（１）主要渗透一般化→特殊化，
4、利用已知的递推公式求具体．问题（２）与问题（１）紧密相连，可以从特殊入手，归纳论证相结合，求一般．当然n−1还可用后面介绍的方法即注意到进行a−a=3(n≥2)，由特殊化归为等比数列等nn−1加以证明．本题贯穿特殊化与一般化的思维方法，实质上是归纳中的综合．课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能．例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：222222−13−14−15−1(n+1)−1(1),,,;a=n2345n+11111n1(2)−,,−,.a=−(1)n1223××344××5nn(+1)例2.观察下面数列的特点，写出每
5、个数列的一个通项公式：n(1)1,7,13,19,−−⋯;a=(1)(6−n−5)n7n(2)7,77,777,7777,77777,⋯;a=(10−1)n9nπ(3)5,0,5,0,5,0,5,0,−−⋯a.=5sinn2练习１:写出下面数列的一个通项公式：313131(1)+−n⋅231537n+2(1)1,,−−,,−,,⋯;an=(2),,,,,⋯.an=23456n52117173n+22练习２．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内．年龄（岁）303540455055606
6、5收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（140）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（85）88练习３．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有__n2-n+1_个点．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（1）（2）（3）（4）（5）相关的高考试题有：（2004年全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}⎧1n=1，的通项a=⎨n⎩___n≥2．分析：由已知，a=a=1．21由a=a+2a+3
7、a+⋯(n−1)a生成n123n−1a=a+2a+3a+⋯(n−2)an−1123n−2an两式相减得：a−a=(n−1)a，即=nnn−1n−1an−1aaaann−13n为商型的，用累乘法可得a=⋅⋅⋯==×n(n−1)×⋅⋅⋅××43,naaaan−1n−222n!即a=．n2（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,⋯堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以
