本专题的主要内容是数列的概念

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1、专题五数列本专题的主要内容是数列的概念、两个基本数列——等差数列、等比数列．这部分知识应该是高考中的重点内容．考察数列知识时往往与其他知识相联系，特别是函数知识．数列本身就可以看作特殊(定义在N*)的函数．因此解决数列问题是常常要用到函数的知识，进一步涉及到方程与不等式．本专题的重点还是在两个基本数列——等差数列、等比数列上，包括概念、通项公式、性质、前n项和公式．§5－1数列的概念【知识要点】1．从函数的观点来认识数列，通过函数的表示方法，来认识数列的表示方法，从而得到数列的常用表示方法——通项公式，即：an＝f(n)．

2、2．对数列特有的表示方法——递推法有一个初步的认识．会根据递推公式写出数列的前几项，并由此猜测数列的一个通项公式．3．明确数列的通项公式与前n项和公式的关系：Sn＝a1＋a2＋…＋an；．特别注意对项数n的要求，这相当于函数中的定义域．【复习要求】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．【例题分析】例1根据数列的前几项写出该数列的一个通项公式：(1)；(2)2，－6，18，－54，162；(3)9，99，999，9999，99999；(4)1，0，1，0，1，

3、0；(5）；(6）；【分析】本题需要观察每一项与项数之间存在的函数关系，猜想出一个通项公式．这种通过特殊的元素得到一般的规律是解决问题的常用方法，但得到的规律不一定正确，可经过证明来验证你的结论．解：(1)；(2)an＝2×(－3)n－1；(3)an＝10n－1；(4)；(5)；(6)．【评析】(1)中分数的考察要把分子、分母分开考察，当然有时分子分母之间有关系；(2)中正负相间的情况一定与(－1)的方次有关；(3)中的情况可以扩展为7，77，777，7777，77777；(4)中的分段函数的写法再一次体现出数列是特殊的函

4、数，也可写成，但这种写法要求较高；(5)中的假分数写成带分数结果就很明显了；(6)中的变换要求较高，可根据分子的变化，变换整个分数，如，根据分子，把变为，其他类似找到规律．例2已知：数列{an}的前n项和Sn，求：数列{an}的通项公式an，(1)Sn＝n2－2n＋2；(2)．【分析】已知数列前n项和Sn求通项公式an的题目一定要考虑n＝1与n≥2两种情况，即：an＝Sn－Sn－1不包含a1，实际上相当于函数中对定义域的要求．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，则.(2)当n＝

5、1时，当n≥2时，，此公式也适合n＝1时的情况，则.【评析】分情况求出通项公式an后，应考察两个式子是否能够统一在一起，如果能够统一还是写成一个式子更加简洁；如果不能统一就要写成分段函数的形式，总之分情况讨论后应该有一个总结性结论．例3完成下列各题：(1)数列{an}中，a1＝2，则a3＝()A．2＋ln3B．2＋2ln3C．2＋3ln3D．4(2)已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21(3)数列{an}中，，其中a，b为常数

6、，则ab＝______．【分析】本题中三个小题都涉及数列的递推关系，这类问题，最好的办法是给n赋值，通过特殊的项找到一般的规律．解：(1)∵，∴a2＝a1＋ln(1＋1)－ln1＝2＋ln2，a3＝a2＋ln(2＋1)－ln2＝2＋ln3，选A．(2)∵ap＋q＝ap＋aq，∴∴a3＝a2＋1＝a2＋a1＝－6－3＝－9，a5＝a3＋2＝a3＋a2＝－9－6＝－15，a10＝a5＋5＝a5＋a5＝－30．选C．(3)∵a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，∴，∵，∴，∴ab＝－1．【评析】这种通过特殊的项解决数列问题的方法今

7、后经常用到，希望大家掌握．例4已知：函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，，且数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，求：数列{an}的通项．【分析】首先要应用f(0)与f(1)这两个条件，由题可看出可能与Sn与an关系有关．解：由题知：，f(1)＝a1＋a2＋…＋an＝n2an，即：Sn＝n2an，则Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2)，∴(n2－1)an＝(n－1)2an－1(n≥2)，即：，∴，即，∴，∵当n＝1时，上式也

8、成立，∴．【评析】本题中，题目给出函数的条件，而f(0)与f(1)的运用就完全转化为数列问题，Sn与an的关系应该是要求掌握的，尤其是在n－1出现时，要注意n≥2的限制，这相当于函数中的定义域．而叠乘的方法是求数列通项的基本方法之一．练习5－1一、选择题：1．数列…的通项公式为()A．B．C．D．2．若